Uma bola é chutada do topo de uma colina de 200 m de altura, acima de um vale. Sua velocidade inicial é de 60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, fazendo um ângulo de 60^{\circ} acima da horizontal (Ignore a resistência do ar).
(a) Quanto tempo demora a bola em cair no vale ?
(b) Qual vai ser o alcance horizontal da bola ?

Passo 1

O enunciado dá uma bola chutada do topo de uma colina com altura 200\\ \mathrm{m} acima do vale. A velocidade inicial tem módulo 60\\ \mathrm{m/s} e direção a 60^\circ acima da horizontal. Ignorar resistência do ar. As perguntas são:
  1. Quanto tempo demora a bola em cair no vale?
  2. Qual será o alcance horizontal da bola (distância horizontal desde o ponto de lançamento até o ponto onde ela atinge o vale)?
Dados extraídos do enunciado:
y_0 = 200\\ \mathrm{m},\qquad v_0 = 60\\ \mathrm{m/s},\qquad \theta = 60^\circ,\qquad g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão em movimentos no plano: a velocidade se separa em uma componente paralela à horizontal e outra à vertical usando funções trigonométricas. As fórmulas são
v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui \cos\theta e \sin\theta são os valores trigonométricos do ângulo \theta. Para \theta=60^\circ sabemos que \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
v_{0x} = 60\cdot\frac{1}{2} = 30\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 60\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 51{,}96\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: a componente horizontal é constante no movimento (sem resistência do ar) e a componente vertical é a que sofre a aceleração da gravidade g.

Passo 3

Agora escrevemos a equação do movimento vertical com origem y=0 no vale (ou seja, o ponto onde a bola atinge o solo do vale) e altura inicial y_0=200\\ \mathrm{m}. A equação do deslocamento vertical em função do tempo é a equação horária do movimento uniformemente acelerado:
y(t)=y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2}g t^2.
Aqui y(t) é a altura em metros no instante t, v_{0y} é a componente vertical da velocidade inicial (em \mathrm{m/s}), e g é a aceleração da gravidade (positiva em módulo). Para achar o tempo em que a bola atinge o vale colocamos y(t)=0 e resolvemos para t:
0 = y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2}g t^2.
Rearranjando para a forma padrão de uma equação quadrática:
\frac{1}{2}g t^2 - v_{0y}\,t - y_0 = 0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática pela fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática). Para a equação
a t^2 + b t + c = 0
a solução é
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
No nosso caso a=\tfrac{1}{2}g, b=-v_{0y}, c=-y_0. Substituindo esses valores a solução pode ser escrita de forma mais direta como
t = \frac{v_{0y} \pm \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}{g}.
Esse resultado vem de aplicar a fórmula e simplificar os sinais (pode ser útil decorar essa forma para quedas a partir de altura diferente de zero). Agora calculamos numericamente os termos:
Calcule v_{0y}^2:
v_{0y}^2 = (30\sqrt{3})^2 = 900\cdot 3 = 2700\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Calcule 2 g y_0:
2 g y_0 = 2\cdot 9{,}8 \cdot 200 = 3920\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Somando:
v_{0y}^2 + 2 g y_0 = 2700 + 3920 = 6620.
A raiz quadrada é
\sqrt{6620}\approx 81{,}36\\ (\mathrm{m/s}).
Substituindo em t:
t = \frac{51{,}96 \pm 81{,}36}{9{,}8}.
Existem duas raízes, uma positiva e uma negativa. A raiz negativa corresponde a um tempo anterior ao lançamento (matematicamente existe), mas o tempo físico de queda é a raiz positiva:
t = \frac{51{,}96 + 81{,}36}{9{,}8} \approx \frac{133{,}32}{9{,}8}\approx 13{,}6\\ \mathrm{s}.
Explicação didática: o sinal positivo no \pm dá o tempo futuro (após o lançamento) em que a bola atinge y=0; o negativo daria um tempo negativo (antes do lançamento), por isso ignoramos.

Passo 5

Agora calculamos o alcance horizontal. Em ausência de forças horizontais, a componente horizontal da velocidade é constante e o deslocamento horizontal é
x(t) = v_{0x}\,t.
Usamos v_{0x}=30\\ \mathrm{m/s} e o tempo de voo t\approx 13{,}6\\ \mathrm{s}:
x = 30 \cdot 13{,}6 \approx 408{,}0\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: é assim que se calcula alcance em projéteis sem resistência do ar — multiplica-se a velocidade horizontal (constante) pelo tempo total de voo.

Passo 6

Pequena verificação de plausibilidade: tempo de voo de cerca de 13\\ \mathrm{s} para uma velocidade inicial vertical de \sim 52\\ \mathrm{m/s} e altura adicional de 200\\ \mathrm{m} parece consistente; o alcance horizontal de cerca de 400\\ \mathrm{m} também é compatível com 30\\ \mathrm{m/s} por 13{,}6\\ \mathrm{s}. Força-se um pouco de olho crítico para garantir que não houve erro de ordem de grandeza — tudo coerente.

Resposta

t \approx 13{,}6\\ \mathrm{s}
x \approx 408{,}0\\ \mathrm{m}

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