Uma bola é chutada do topo de uma colina de 200 m de altura, acima de um vale. Sua velocidade inicial é de
, fazendo um ângulo de
acima da horizontal (Ignore a resistência do ar).
(a) Quanto tempo demora a bola em cair no vale ?
(b) Qual vai ser o alcance horizontal da bola ?
(a) Quanto tempo demora a bola em cair no vale ?
(b) Qual vai ser o alcance horizontal da bola ?
Passo 1
O enunciado dá uma bola chutada do topo de uma colina com altura
acima do vale. A velocidade inicial tem módulo
e direção a
acima da horizontal. Ignorar resistência do ar. As perguntas são:
- Quanto tempo demora a bola em cair no vale?
- Qual será o alcance horizontal da bola (distância horizontal desde o ponto de lançamento até o ponto onde ela atinge o vale)?
Dados extraídos do enunciado:
Passo 2
Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão em movimentos no plano: a velocidade se separa em uma componente paralela à horizontal e outra à vertical usando funções trigonométricas. As fórmulas são
Aqui
e
são os valores trigonométricos do ângulo
. Para
sabemos que
e
. Portanto
Explicação didática: a componente horizontal é constante no movimento (sem resistência do ar) e a componente vertical é a que sofre a aceleração da gravidade
.
Passo 3
Agora escrevemos a equação do movimento vertical com origem
no vale (ou seja, o ponto onde a bola atinge o solo do vale) e altura inicial
. A equação do deslocamento vertical em função do tempo é a equação horária do movimento uniformemente acelerado:
Aqui
é a altura em metros no instante
,
é a componente vertical da velocidade inicial (em
), e
é a aceleração da gravidade (positiva em módulo). Para achar o tempo em que a bola atinge o vale colocamos
e resolvemos para
:
Rearranjando para a forma padrão de uma equação quadrática:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática pela fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática). Para a equação
a solução é
No nosso caso
,
,
. Substituindo esses valores a solução pode ser escrita de forma mais direta como
Esse resultado vem de aplicar a fórmula e simplificar os sinais (pode ser útil decorar essa forma para quedas a partir de altura diferente de zero). Agora calculamos numericamente os termos:
Calcule
:
Calcule
:
Somando:
A raiz quadrada é
Substituindo em
:
Existem duas raízes, uma positiva e uma negativa. A raiz negativa corresponde a um tempo anterior ao lançamento (matematicamente existe), mas o tempo físico de queda é a raiz positiva:
Explicação didática: o sinal positivo no
dá o tempo futuro (após o lançamento) em que a bola atinge
; o negativo daria um tempo negativo (antes do lançamento), por isso ignoramos.
Passo 5
Agora calculamos o alcance horizontal. Em ausência de forças horizontais, a componente horizontal da velocidade é constante e o deslocamento horizontal é
Usamos
e o tempo de voo
:
Explicação didática: é assim que se calcula alcance em projéteis sem resistência do ar — multiplica-se a velocidade horizontal (constante) pelo tempo total de voo.
Passo 6
Pequena verificação de plausibilidade: tempo de voo de cerca de
para uma velocidade inicial vertical de
e altura adicional de
parece consistente; o alcance horizontal de cerca de
também é compatível com
por
. Força-se um pouco de olho crítico para garantir que não houve erro de ordem de grandeza — tudo coerente.