(a) Comparar as densidades planares para os planos (100), (110) e (111) de uma estrutura CFC. Obter expressōes em termos do raio atômico. (b) fazer uma análise sobre a relação entre densidade atômica e sistema de escorregamento e deformação por escorregamento.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
-
(a) Comparar as densidades planares para os planos
, e de uma estrutura CFC e obter expressões dessas densidades em função do raio atômico . -
(b) Fazer uma análise sobre a relação entre densidade atômica (planares) e sistema de escorregamento / deformação por escorregamento.
Informações relevantes dadas ou implícitas que vou usar sem pedir nada a mais:
- A estrutura é cúbica de face centrada (CFC).
- Preciso expressar tudo em termos do raio atômico
. - Preciso comparar (ordenar) as densidades e discutir como isso afeta o escorregamento.
Passo 2
O que é densidade planar e como vamos calcular:
- Definição operacional: densidade planar (PD) de um plano cristalino é o número de centros atômicos cuja projeção cai num célula 2D básica desse plano, dividido pela área dessa célula 2D. Em outras palavras,
- Vou escolher para cada plano uma célula 2D natural (paralelogramo/quadrado/hexágono que repete no plano) e contar os centros atômicos que pertencem a essa célula (levando em conta compartilhamentos dentro da própria camada).
Relação entre parâmetro de rede
e raio atômico
na CFC:
- Nos cristais CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal de uma face vale
e nela existem 4 raios atômicos (corner–face-center–corner), logo
- Isolando
obtemos
Vou usar essa relação para substituir
por
nas expressões finais.
Passo 3
Cálculo da densidade planar para o plano
:
- Escolho como célula 2D um quadrado de lado
(é a célula natural do plano ). A área dessa célula é
- Quais centros atômicos estão nesse quadrado (na camada
)? Olhando para uma camada típica na CFC temos: quatro átomos nos cantos do quadrado e um átomo no centro do quadrado (o átomo do centro da face). Na contagem dentro da célula 2D: - cada átomo de canto contribui com
(pois está em quatro células 2D adjacentes no mesmo plano) → contribuição total dos cantos ; - o átomo do centro da face está completamente dentro da célula 2D (não é compartilhado entre células 2D no plano) → contribuição
.
- cada átomo de canto contribui com
- Total de átomos por célula 2D do
: . - Portanto a densidade planar é
- Substituindo
(veja Passo 2),
Interpretação simples: os átomos formam uma rede quadrada com espaçamento entre vizinhos
, o que dá área por átomo
, portanto densidade
.
Passo 4
Cálculo da densidade planar para o plano
:
- Uma célula 2D conveniente para
é um paralelogramo retangular com lados de comprimento (direção ) e (direção paralela à diagonal da face, ). Assim a área é
- Agora contar os centros atômicos que ficam nessa célula 2D (camada
). Visualizando a rede CFC e a intersecção com o plano , nessa célula 2D específica aparecem basicamente dois centros atômicos por célula: são os vértices que ficam na interseção (por exemplo os cantos da célula 3D projetados) — contando compartilhamentos dentro da própria célula 2D obtém-se . (Resumo do raciocínio: a camada passa por linhas de átomos nos vértices alternados, e a célula retangular escolhida contém dois centros atômicos efetivos.) - Logo
- Substituindo
:
Observação numérica rápida (para comparar):
, em unidades de
.
Passo 5
Cálculo da densidade planar para o plano
— plano mais densamente empacotado:
- A camada
na CFC é a camada de empacotamento hexagonal (a mais densa). Os centros nessa camada formam uma rede hexagonal fechada. - Distância entre vizinhos na CFC (distância de vizinho mais próximo) é
Usando
dá
Ou seja, os centros vizinhos estão separados por
(faz sentido: os átomos tocam nesse sentido).
- Para uma rede hexagonal plana, a área por átomo é
- Então a densidade planar é o inverso disso:
- Substituindo
,
Observação numérica:
, em unidades de
.
Passo 6
Comparação numérica e ordem das densidades:
- Usando as expressões obtidas:
-
- Portanto a ordem de densidade planar decrescente é
Passo 7
Análise (parte b): relação entre densidade planar e sistema de escorregamento / deformação por escorregamento (explicação didática, passo a passo e intuitiva)
- O que é escorregamento? Escorregamento (slip) é o movimento coletivo de linhas de defeito (dislocações) ao longo de planos do cristal; macroscopicamente aparece como deformação plástica. Para que uma dislocação se mova com facilidade é vantajoso que o plano em que a dislocação se move seja “próximo empacotado” — isto reduz a energia e a resistência ao movimento porque há menos espaço vazio e as vizinhanças atômicas favorecem deslizamento por golpe entre planos.
- Regra prática importante (principal em metais): planos com maior densidade planar (planos mais próximos empacotados) e direções com maior densidade linear são os planos/direções preferenciais de escorregamento.
- No CFC:
- O plano mais densamente empacotado é o
(veja Passo 5). As direções densas dentro desse plano são as direções do tipo . - O vetor de Burgers típico em CFC é
, que corresponde à menor translação cristalográfica e está contido nos planos . Isso significa que há direções de fácil escorregamento disponíveis dentro do plano mais denso. - Consequência: os sistemas de escorregamento preferenciais em CFC são os do tipo
. Existem 4 planos distintos por célula e, em cada plano, 3 direções possíveis, totalizando normalmente 12 sistemas de escorregamento equivalentes — este grande número de sistemas favorece a ductilidade (o material pode deformar plasticamente em muitas direções).
- O plano mais densamente empacotado é o
- Por que maior densidade planar facilita o escorregamento? Intuição:
- Em planos mais densos, os átomos estão mais próximos e as linhas atômicas são mais próximas entre si; uma dislocação movendo-se encontra uma configuração onde a energia por unidade de área associada à mudança de posição atômica é menor comparada a um plano esparsamente povoado — isto se traduz em menor tensão de cisalhamento crítica necessária para mover a dislocação.
- Observações adicionais (importante na prova):
- Densidade planar não é o único fator: energia de empilhamento (stacking-fault energy), presença de impurezas, temperatura e tensão aplicada (orientação) também influenciam quais planos realmente deslizam.
- Mesmo que um plano seja menos denso (por exemplo
aqui), sob tensões apropriadas ou condições específicas ele pode participar do escorregamento; porém, em CFC o comportamento padrão sempre privilegia com .
- Conclusão prática para a prova: quando pedirem “qual plano é favorecido para o escorregamento numa CFC?”, responda
com direções e lembre-se de mencionar que isso decorre da maior densidade planar do e do fato de o vetor de Burgers estar contido nesses planos.
Resposta
(a)
(b) Planos com maior densidade planar facilitam o movimento de dislocações; na CFC o plano
é o mais denso e, combinado com o vetor de Burgers
contido nele, torna os sistemas
os preferenciais para escorregamento (isso resulta em 12 sistemas de escorregamento e alta ductilidade).