(a) Comparar as densidades planares para os planos (100), (110) e (111) de uma estrutura CFC. Obter expressōes em termos do raio atômico. (b) fazer uma análise sobre a relação entre densidade atômica e sistema de escorregamento e deformação por escorregamento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Comparar as densidades planares para os planos (100), (110) e (111) de uma estrutura CFC e obter expressões dessas densidades em função do raio atômico R.
  2. (b) Fazer uma análise sobre a relação entre densidade atômica (planares) e sistema de escorregamento / deformação por escorregamento.
Informações relevantes dadas ou implícitas que vou usar sem pedir nada a mais:
  • A estrutura é cúbica de face centrada (CFC).
  • Preciso expressar tudo em termos do raio atômico R.
  • Preciso comparar (ordenar) as densidades e discutir como isso afeta o escorregamento.

Passo 2

O que é densidade planar e como vamos calcular:
  • Definição operacional: densidade planar (PD) de um plano cristalino é o número de centros atômicos cuja projeção cai num célula 2D básica desse plano, dividido pela área dessa célula 2D. Em outras palavras,
\text{PD}=\frac{\text{número de átomos por célula 2D do plano}}{\text{área da célula 2D do plano}}.úáéáé
  • Vou escolher para cada plano uma célula 2D natural (paralelogramo/quadrado/hexágono que repete no plano) e contar os centros atômicos que pertencem a essa célula (levando em conta compartilhamentos dentro da própria camada).
Relação entre parâmetro de rede a e raio atômico R na CFC:
  • Nos cristais CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal de uma face vale a\sqrt{2} e nela existem 4 raios atômicos (corner–face-center–corner), logo
a\sqrt{2}=4R.
  • Isolando a obtemos
a=2\sqrt{2}\,R.
Vou usar essa relação para substituir a por R nas expressões finais.

Passo 3

Cálculo da densidade planar para o plano (100):
  • Escolho como célula 2D um quadrado de lado a (é a célula natural do plano (100)). A área dessa célula é
A_{100}=a^{2}.
  • Quais centros atômicos estão nesse quadrado (na camada (100))? Olhando para uma camada (100) típica na CFC temos: quatro átomos nos cantos do quadrado e um átomo no centro do quadrado (o átomo do centro da face). Na contagem dentro da célula 2D:
    • cada átomo de canto contribui com 1/4 (pois está em quatro células 2D adjacentes no mesmo plano) → contribuição total dos cantos =4\times\frac{1}{4}=1;
    • o átomo do centro da face está completamente dentro da célula 2D (não é compartilhado entre células 2D no plano) → contribuição =1.
  • Total de átomos por célula 2D do (100): N_{100}=1+1=2.
  • Portanto a densidade planar é
\text{PD}_{100}=\frac{N_{100}}{A_{100}}=\frac{2}{a^{2}}.
  • Substituindo a=2\sqrt{2}\,R (veja Passo 2),
\text{PD}_{100}=\frac{2}{(2\sqrt{2}\,R)^{2}}=\frac{2}{8\,R^{2}}=\frac{1}{4\,R^{2}}.
Interpretação simples: os átomos formam uma rede quadrada com espaçamento entre vizinhos =a/\sqrt{2}=2R, o que dá área por átomo =(2R)^{2}=4R^{2}, portanto densidade 1/(4R^{2}).

Passo 4

Cálculo da densidade planar para o plano (110):
  • Uma célula 2D conveniente para (110) é um paralelogramo retangular com lados de comprimento a (direção [00 1]) e a\sqrt{2} (direção paralela à diagonal da face, [1\bar{1}0]). Assim a área é
A_{110}=a\cdot a\sqrt{2}=a^{2}\sqrt{2}.
  • Agora contar os centros atômicos que ficam nessa célula 2D (camada (110)). Visualizando a rede CFC e a intersecção com o plano (110), nessa célula 2D específica aparecem basicamente dois centros atômicos por célula: são os vértices que ficam na interseção (por exemplo os cantos da célula 3D projetados) — contando compartilhamentos dentro da própria célula 2D obtém-se N_{110}=2. (Resumo do raciocínio: a camada (110) passa por linhas de átomos nos vértices alternados, e a célula retangular escolhida contém dois centros atômicos efetivos.)
  • Logo
\text{PD}_{110}=\frac{N_{110}}{A_{110}}=\frac{2}{a^{2}\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}\,a^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}.
  • Substituindo a^{2}=(2\sqrt{2}\,R)^{2}=8R^{2}:
\text{PD}_{110}=\frac{\sqrt{2}}{8\,R^{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}\,R^{2}}.
Observação numérica rápida (para comparar): \frac{1}{4\sqrt{2}}\approx 0,1768, em unidades de 1/R^{2}.

Passo 5

Cálculo da densidade planar para o plano (111) — plano mais densamente empacotado:
  • A camada (111) na CFC é a camada de empacotamento hexagonal (a mais densa). Os centros nessa camada formam uma rede hexagonal fechada.
  • Distância entre vizinhos na CFC (distância de vizinho mais próximo) é
d_{\text{nn}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Usando a=2\sqrt{2}\,R
d_{\text{nn}}=\frac{2\sqrt{2}\,R}{\sqrt{2}}=2R.
Ou seja, os centros vizinhos estão separados por 2R (faz sentido: os átomos tocam nesse sentido).
  • Para uma rede hexagonal plana, a área por átomo é
A_{\text{por átomo}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,d_{\text{nn}}^{2}.á
  • Então a densidade planar é o inverso disso:
\text{PD}_{111}=\frac{1}{A_{\text{por átomo}}}=\frac{2}{\sqrt{3}\,d_{\text{nn}}^{2}}.á
  • Substituindo d_{\text{nn}}=2R,
\text{PD}_{111}=\frac{2}{\sqrt{3}\,(2R)^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}\,4R^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}\,R^{2}}.
Observação numérica: \frac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,288675, em unidades de 1/R^{2}.

Passo 6

Comparação numérica e ordem das densidades:
  • Usando as expressões obtidas:
    • \text{PD}_{111}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}\,R^{2}}\approx 0{,}2887\,/R^{2}
    • \text{PD}_{100}=\dfrac{1}{4\,R^{2}}=0{,}25\,/R^{2}
    • \text{PD}_{110}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}\,R^{2}}\approx 0{,}1768\,/R^{2}
  • Portanto a ordem de densidade planar decrescente é
(111)\;>\;(100)\;>\;(110).

Passo 7

Análise (parte b): relação entre densidade planar e sistema de escorregamento / deformação por escorregamento (explicação didática, passo a passo e intuitiva)
  • O que é escorregamento? Escorregamento (slip) é o movimento coletivo de linhas de defeito (dislocações) ao longo de planos do cristal; macroscopicamente aparece como deformação plástica. Para que uma dislocação se mova com facilidade é vantajoso que o plano em que a dislocação se move seja “próximo empacotado” — isto reduz a energia e a resistência ao movimento porque há menos espaço vazio e as vizinhanças atômicas favorecem deslizamento por golpe entre planos.
  • Regra prática importante (principal em metais): planos com maior densidade planar (planos mais próximos empacotados) e direções com maior densidade linear são os planos/direções preferenciais de escorregamento.
  • No CFC:
    • O plano mais densamente empacotado é o (111) (veja Passo 5). As direções densas dentro desse plano são as direções do tipo \langle 110\rangle.
    • O vetor de Burgers típico em CFC é \frac{a}{2}\langle 110\rangle, que corresponde à menor translação cristalográfica e está contido nos planos (111). Isso significa que há direções de fácil escorregamento disponíveis dentro do plano mais denso.
    • Consequência: os sistemas de escorregamento preferenciais em CFC são os do tipo \{111\}\langle 110\rangle. Existem 4 planos (111) distintos por célula e, em cada plano, 3 direções \langle 110\rangle possíveis, totalizando normalmente 12 sistemas de escorregamento equivalentes — este grande número de sistemas favorece a ductilidade (o material pode deformar plasticamente em muitas direções).
  • Por que maior densidade planar facilita o escorregamento? Intuição:
    • Em planos mais densos, os átomos estão mais próximos e as linhas atômicas são mais próximas entre si; uma dislocação movendo-se encontra uma configuração onde a energia por unidade de área associada à mudança de posição atômica é menor comparada a um plano esparsamente povoado — isto se traduz em menor tensão de cisalhamento crítica necessária para mover a dislocação.
  • Observações adicionais (importante na prova):
    • Densidade planar não é o único fator: energia de empilhamento (stacking-fault energy), presença de impurezas, temperatura e tensão aplicada (orientação) também influenciam quais planos realmente deslizam.
    • Mesmo que um plano seja menos denso (por exemplo (110) aqui), sob tensões apropriadas ou condições específicas ele pode participar do escorregamento; porém, em CFC o comportamento padrão sempre privilegia (111) com \langle110\rangle.
  • Conclusão prática para a prova: quando pedirem “qual plano é favorecido para o escorregamento numa CFC?”, responda \{111\} com direções \langle110\rangle e lembre-se de mencionar que isso decorre da maior densidade planar do (111) e do fato de o vetor de Burgers \frac{a}{2}\langle110\rangle estar contido nesses planos.

Resposta

(a) \text{PD}_{100}=\dfrac{1}{4\,R^{2}},\quad \text{PD}_{110}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}\,R^{2}},\quad \text{PD}_{111}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}\,R^{2}}
(b) Planos com maior densidade planar facilitam o movimento de dislocações; na CFC o plano (111) é o mais denso e, combinado com o vetor de Burgers \tfrac{a}{2}\langle110\rangle contido nele, torna os sistemas \{111\}\langle110\rangle os preferenciais para escorregamento (isso resulta em 12 sistemas de escorregamento e alta ductilidade).

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