Calcule a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas:
e
.
Pede-se: calcular a área da região limitada por essas duas curvas.
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas funções e que a região procurada é a limitada por elas (ou seja, encerrada pelas interseções das curvas).
Pede-se: calcular a área da região limitada por essas duas curvas.
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas funções e que a região procurada é a limitada por elas (ou seja, encerrada pelas interseções das curvas).
Passo 2
Primeiro vamos encontrar os pontos de interseção, porque eles serão os limites em
da região. Igualamos as duas funções:
Resolvendo:
Portanto as curvas se encontram em
e
. Esses são os limites horizontais da região.
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva está acima (maior
) no intervalo
. Avaliamos em um ponto interno, por exemplo
:
Como
, a curva
está acima de
em todo o intervalo entre as interseções (as funções são simétricas e trocaram posições somente fora desse intervalo). Logo a distância vertical entre as curvas é
Passo 4
Fórmula usada (mini-aula): a área
entre duas curvas
e
do ponto
ao
é
Explicando: para cada
entre
e
a diferença
é a altura de uma fita vertical estreita de largura
; integrar soma as áreas dessas fitas e dá a área total. Aqui
,
,
,
.
Passo 5
Montamos o integral e simplificamos o integrando:
Observação prática: a função
é par (ou seja,
), então o integrando
também é par; por simetria podemos calcular
ou simplesmente avaliar diretamente de
a
. Vou avaliar diretamente.
Passo 6
Calculamos a primitiva (antiderivada) de
:
Agora avaliamos entre
e
:
Calculando cada termo:
Subtraindo:
Passo 7
Resumo didático-final: encontramos interseções em
, determinamos que
é a curva superior, montamos o integral da diferença vertical e avaliamos a primitiva. O resultado final da área é
. Força aí — esse tipo de integral é clássico e aparece muito em provas; a técnica é sempre a mesma: encontrar interseções, identificar top/bottom e integrar a diferença.