Calcule a área da região limitada pelas curvas f(x)=x^{2}-1 e f(x)=1-x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas: f(x)=x^{2}-1 e f(x)=1-x^{2}.
Pede-se: calcular a área da região limitada por essas duas curvas.
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas funções e que a região procurada é a limitada por elas (ou seja, encerrada pelas interseções das curvas).

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os pontos de interseção, porque eles serão os limites em x da região. Igualamos as duas funções:
x^{2}-1 = 1 - x^{2}.
Resolvendo:
2x^{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Portanto as curvas se encontram em x=-1 e x=1. Esses são os limites horizontais da região.

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva está acima (maior y) no intervalo [-1,1]. Avaliamos em um ponto interno, por exemplo x=0:
f(0)=0^{2}-1=-1\quad\text{e}\quad g(0)=1-0^{2}=1.
Como 1>-1, a curva y=1-x^{2} está acima de y=x^{2}-1 em todo o intervalo entre as interseções (as funções são simétricas e trocaram posições somente fora desse intervalo). Logo a distância vertical entre as curvas é
\text{(top)}-\text{(bottom)} = (1-x^{2}) - (x^{2}-1).

Passo 4

Fórmula usada (mini-aula): a área A entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bottom}}(x) do ponto x=a ao x=b é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.
Explicando: para cada x entre a e b a diferença y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}} é a altura de uma fita vertical estreita de largura dx; integrar soma as áreas dessas fitas e dá a área total. Aqui a=-1, b=1, y_{\text{top}}(x)=1-x^{2}, y_{\text{bottom}}(x)=x^{2}-1.

Passo 5

Montamos o integral e simplificamos o integrando:
A=\int_{-1}^{1}\bigl[(1-x^{2})-(x^{2}-1)\bigr]\,dx =\int_{-1}^{1}\bigl(2-2x^{2}\bigr)\,dx =2\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx.
Observação prática: a função 1-x^{2} é par (ou seja, f(-x)=f(x)), então o integrando 2(1-x^{2}) também é par; por simetria podemos calcular A=2\int_{0}^{1}2(1-x^{2})\,dx ou simplesmente avaliar diretamente de -1 a 1. Vou avaliar diretamente.

Passo 6

Calculamos a primitiva (antiderivada) de 2-2x^{2}:
\int (2-2x^{2})\,dx = 2x - \frac{2x^{3}}{3} + C.
Agora avaliamos entre -1 e 1:
A=\left[2x - \frac{2x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\left(2\cdot 1 - \frac{2\cdot 1^{3}}{3}\right)-\left(2\cdot(-1)-\frac{2\cdot(-1)^{3}}{3}\right).
Calculando cada termo:
2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3},\qquad -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}.
Subtraindo:
A=\frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{3}.

Passo 7

Resumo didático-final: encontramos interseções em x=\pm 1, determinamos que y=1-x^{2} é a curva superior, montamos o integral da diferença vertical e avaliamos a primitiva. O resultado final da área é \tfrac{8}{3}. Força aí — esse tipo de integral é clássico e aparece muito em provas; a técnica é sempre a mesma: encontrar interseções, identificar top/bottom e integrar a diferença.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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