Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado. Estas caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm de altura. Qual o número máximo de latas de palmito em cada caixote?
A) 576
B) 4608
C) 2304
D) 720
E) 144

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Caixa de papelão cúbica com lado \,20\\ \text{cm}\, contém \,8 latas de palmito.
  • O caixote de madeira tem dimensões \,80\\ \text{cm} de largura, \,120\\ \text{cm} de comprimento e \,60\\ \text{cm} de altura.
  • As caixas cúbicas são colocadas no caixote “sem deixar espaços vazios” (ou seja, empilhadas em arranjo regular, lado a lado, ocupando integralmente as posições possíveis).
Pergunta: Qual o número máximo de latas de palmito que cabem em cada caixote?

Passo 2

Entendimento do que significa “sem deixar espaços vazios” e como contar: como as caixas são cúbicas de lado \,20\\ \text{cm}\, e o caixote tem medidas múltiplas de 20\\ \text{cm}, podemos colocar as caixas formando uma grade retangular tridimensional alinhada com as faces do caixote. Para cada dimensão do caixote contamos quantas caixas cabem colocando-as lado a lado. Se a dimensão do caixote for D e o lado da caixa for s, o número de caixas que cabem nessa direção é \left\lfloor \dfrac{D}{s} \right\rfloor. Aqui, como \dfrac{D}{s} dá inteiro exato, não precisamos do piso.

Passo 3

Calcular quantas caixas cabem em cada dimensão:
  • Ao longo da largura:
n_{\text{largura}} = \dfrac{80}{20}
  • Ao longo do comprimento:
n_{\text{comprimento}} = \dfrac{120}{20}
  • Ao longo da altura:
n_{\text{altura}} = \dfrac{60}{20}
Explicação: cada uma dessas frações significa "quantas medidas de \,20\\ \text{cm}\, cabem respectivamente em \,80\\ \text{cm}, \,120\\ \text{cm} e \,60\\ \text{cm}".

Passo 4

Efetuar as divisões (mostrando conta passo a passo):
n_{\text{largura}} = \dfrac{80}{20} = 4
porque 20\cdot 4 = 80.
n_{\text{comprimento}} = \dfrac{120}{20} = 6
porque 20\cdot 6 = 120.
n_{\text{altura}} = \dfrac{60}{20} = 3
porque 20\cdot 3 = 60.

Passo 5

Calcular o número total de caixas cúbicas que cabem no caixote: multiplicamos as quantidades em cada direção, porque estamos formando uma grade tridimensional (linhas × colunas × camadas):
N_{\text{caixas}} = n_{\text{largura}}\times n_{\text{comprimento}}\times n_{\text{altura}} = 4\times 6\times 3.
Calculemos:
4\times 6 = 24,
24\times 3 = 72.
Portanto \,N_{\text{caixas}} = 72.

Passo 6

Calcular o número total de latas: cada caixa contém \,8 latas, então
N_{\text{latas}} = N_{\text{caixas}}\times 8 = 72\times 8.
Efetuando a multiplicação:
72\times 8 = (70+2)\times 8 = 560 + 16 = 576.

Passo 7

Verificação rápida de maximalidade: as dimensões do caixote são múltiplas exatas de \,20\\ \text{cm}, então não há espaço residual para encaixar mais caixas ou reorganizar de outro modo que aumente a quantidade; e as caixas são cúbicas (rotacioná-las não altera nada). Logo \,576 é o número máximo de latas por caixote.

Resposta

\,576

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