Compare o efeito de Kc sobre a estabilidade da malha fechada dos seguintes processos, quando usando somente controlador proporcional:
cc processo 1 & 1(2 s+1)(3 s+1) processo 2 & -s+1(2 s+1)(3 s+1)
R: A condição de estabilidade de do processo 1 é: Kc>0 e a condição de estabilidade do processo 2 é: 0.

Passo 1

Beleza, aqui a gente vai comparar como o ganho proporcional afeta a estabilidade de dois sistemas em malha fechada com realimentação unitária. O que precisamos:
  • Montar a equação característica de cada malha fechada.
  • Aplicar o critério de Routh–Hurwitz para descobrir para quais valores de todos os polos ficam no semiplano esquerdo (ou seja, estável).

Passo 2

Resolvendo para o processo 1, cuja função de planta é
G1(s)=1(2s+1)(3s+1)
  1. Montamos a equação característica (denominador da malha fechada):
1 + Kc,G1(s)=0 ;Longrightarrow; (2s+1)(3s+1)+Kc=0
  1. Expandindo, fica
6s^2 + 5s + 1 + Kc = 0 ;Longrightarrow; 6s^2 + 5s + (1+Kc)=0
  1. Vamos ao critério de Routh. A tabela é:
s^2 | 6 | 1+K_c
s^1 | 5 | 0
s^0 | 1+K_c | –
Para estabilidade, todos os primeiros elementos da coluna da esquerda têm que ser positivos:
  • Kc>0 (ok),
  • (ok),
  • .
Como geralmente a gente assume positivo (para ser um ganho “normal”), a condição vira simplesmente

Passo 3

Agora o processo 2, com planta
G2(s)=-s+1(2s+1)(3s+1)
  1. Equação característica:
1 + Kc,G2(s)=0 ;Longrightarrow; (2s+1)(3s+1) + Kc,(-s+1)=0
  1. Expandindo:
6s^2 + 5s + 1 -Kc s + Kc = 0 ;Longrightarrow; 6s^2 + (5 - Kc),s + (1+Kc)=0
  1. Tabela de Routh:
s^2 | 6 | 1+K_c
s^1 | 5−K_c | 0
s^0 | 1+K_c | –
Regras de estabilidade:
  • 0 < Kc < 5 (sempre ok),
  • ,
  • .
De novo queremos para ser um ganho proporcional “normal”, então a faixa final é

Resposta

Processo 1:
Processo 2:

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