Segue a função transferência de uma fornalha industrial:
Gp(s) cdot Gf(s)=T^prime(s)barP cdot(s)=40 e^-20 s(900 s+1)(25 s+1) c^circ C / psi)
Onde a função de transferência acima relaciona a temperatura da corrente do efluente à pressão fornecida à válvula pneumática na linha de combustível. Todas as constantes de tempo estão em segundos.
Se tem disponível um elemento de medida de atuação rápida, o qual tem um ganho de 0,2 (psi/ ^circ C ), determine o ganho crítico para implementar um controlador PI. Use a aproximação de Padé de primeira ordem:
e^-theta s approx 1-thetaz s1+thetaz s

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o ganho crítico G(s)=0,2cdot40,e^-20s(900s+1)(25s+1) de um controlador PI para uma fornalha cuja planta, incluindo o elemento de medição rápida de ganho 0,2 (psi/°C), é
O conteúdo é análise de estabilidade e resposta em frequência (usando aproximação de Padé de 1ª ordem). Vamos precisar:
  • Aproximação de Padé para o atraso .
  • Encontrar a frequência de cruzamento de fase de .
  • Achar impondo naquele .

Passo 2

Primeiro, substituímos o atraso por Padé de 1ª ordem:
e^-20sapprox1-202s1+202s =1-10s1+10s
Então a planta total fica, para um ganho proporcional L(s)=Kp;0,2cdot40;1-10s(1+10s)(900s+1)(25s+1) =Kp;8;1-10s(1+10s)(900s+1)(25s+1) :

Passo 3

Pra achar o ganho crítico, a gente primeiro encontra a frequência -2arctan(10omegac);-;arctan(25omegac);-;arctan(900omegac) =-pi em que a fase de é .
A fase total é soma de:
  • ,
  • ,
  • .
    A condição de cruzamento de fase é
Por tentativa (ou numérica) acha-se
.

Passo 4

Agora impomos l|tfrac1-10jomegac1+10jomegacr| =1 . Note que
|L(jomegac)| =Kp;8;1|900jomegac+1|;cdot;|25jomegac+1| =1
(pois numerador e denominador têm o mesmo módulo). Então
|900jomegac+1|=raiz1+(900cdot0,0415)^2approx37,36, |25jomegac+1|approx1,44
Calculando os módulos em 1=Kp;8;137,36;times;1,44 ;Longrightarrow; Kp=37,36cdot1,448approx6,73 :
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Resposta

O ganho crítico para o controlador PI é
boxedKcritapprox6,73

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