Uma malha de controle por realimentaçãoé formada por um processo representado pela função de transferência:
e um controlador proporcional Gc(s) = Kc.
Para que valores de Kc a resposta em malha fechada, a uma perturbação degrau unitário no valor de referência, apresenta (i) comportamento criticamente amortecido, (ii) 5% de sobre-elevação e (iii) 1/4 de razão de declínio. Pode a malha ser instável?
Para que valores de Kc a resposta em malha fechada, a uma perturbação degrau unitário no valor de referência, apresenta (i) comportamento criticamente amortecido, (ii) 5% de sobre-elevação e (iii) 1/4 de razão de declínio. Pode a malha ser instável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é de controle clássico: temos um processo com G(s)=6(1–s)/[(s+1)(0,5s+1)] e um controlador proporcional Kc. Queremos achar para quais Kc o sistema em malha fechada (resposta a degrau na referência) apresenta
- Comportamento criticamente amortecido (ζ=1)
- 5% de sobre-elevação (Mp=0,05 → ζ≈0,69)
- Razão de declínio de 1/4 (decay‐ratio=1/4 → ζ≈0,404)
Para isso precisamos:
- Montar a função característica do fechado e ver que ela é do tipo s²+2ζωₙs+ωₙ²=0
- Comparar coeficientes pra extrair ζ em função de Kc
- Resolver para ζ desejados
- Ver também quando o sistema fica instável (análise de sinais dos coeficientes)
Passo 2
Primeiro o L(s)=Kc·G(s). Juntando tudo:
G(s)=6(1–s)/[(s+1)(0,5s+1)] → multiplica numerador e denom. por 2 → (12(1–s))/(s²+3s+2).
Então a característica do fechado:
1+L(s)=0 → s²+3s+2 +12Kc(1–s)=0
→ s² + (3–12Kc)s + (2+12Kc)=0
G(s)=6(1–s)/[(s+1)(0,5s+1)] → multiplica numerador e denom. por 2 → (12(1–s))/(s²+3s+2).
Então a característica do fechado:
1+L(s)=0 → s²+3s+2 +12Kc(1–s)=0
→ s² + (3–12Kc)s + (2+12Kc)=0
Aí dá pra identificar na forma padrão s² + 2ζωₙ s + ωₙ² = 0 que
2ζωₙ = 3–12Kc
ωₙ² = 2+12Kc
2ζωₙ = 3–12Kc
ωₙ² = 2+12Kc
Passo 3
A partir disso a expressão de ζ em função de Kc é
ζ = (3–12Kc) / [2·√(2+12Kc)]
ζ = (3–12Kc) / [2·√(2+12Kc)]
Só resta igualar a ζ desejado em cada caso e resolver a equação quadrática pra Kc. Sempre vaí dar duas soluções – vamos filtrar depois quais fazem sentido.
Passo 4
(3–12Kc) / [2√(2+12Kc)] = 1
⟹ (3–12Kc)² = 4(2+12Kc)
⟹ 144Kc² –120Kc +1 = 0
⟹ Kc = [5 ± 2√6]/12
≈ 0,00843 ou 0,8249
⟹ (3–12Kc)² = 4(2+12Kc)
⟹ 144Kc² –120Kc +1 = 0
⟹ Kc = [5 ± 2√6]/12
≈ 0,00843 ou 0,8249
Passo 5
(3–12Kc) / [2√(2+12Kc)] = 0,69
⟹ Resolviendo dá Kc ≈ 0,0603 ou 0,598
⟹ Resolviendo dá Kc ≈ 0,0603 ou 0,598
Passo 6
(3–12Kc) / [2√(2+12Kc)] = 0,404
⟹ Resolvendo dá Kc ≈ 0,1244 ou 0,430
⟹ Resolvendo dá Kc ≈ 0,1244 ou 0,430
Passo 7
Pra estabilidade via Routh (ou só exame de sinais): precisamos
a1 = 3–12Kc > 0 ⇒ Kc < 0,25
a0 = 2+12Kc > 0 ⇒ sempre pra Kc > –1/6
a1 = 3–12Kc > 0 ⇒ Kc < 0,25
a0 = 2+12Kc > 0 ⇒ sempre pra Kc > –1/6
Logo, se Kc ≥0,25 o sistema perde estabilidade.
Resposta
(i) Criticamente amortecido: Kc = (5±2√6)/12 ≈ 0,00843 ou 0,8249
(ii) 5% de sobre-elevação: Kc ≈ 0,0603 ou 0,598
(iii) 1/4 de razão de declínio: Kc ≈ 0,1244 ou 0,430
(ii) 5% de sobre-elevação: Kc ≈ 0,0603 ou 0,598
(iii) 1/4 de razão de declínio: Kc ≈ 0,1244 ou 0,430
Observação de estabilidade: apenas as soluções com Kc < 0,25 são estáveis (as maiores geram instabilidade).