Compare os mapeamentos do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0 . e - pi / 4 < Im(z) <= pi / 2 quando submetido a transformação realizada pelas funçöes fa(z) = e^z + 1 e f(b(z)) = i * Im[e^z + 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para comparar como duas funções transformam um conjunto de pontos no plano complexo. O conjunto de pontos é definido por Re(z) <= 0 e . Vamos usar conceitos de funções complexas para isso, especificamente as funções exponencial e a função imaginária. Precisaremos entender como cada função age nesse conjunto de pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conjunto de pontos que estamos lidando. A condição Re(z) <= 0 significa que consideramos todos os números complexos cuja parte real é menor ou igual a zero, ou seja, estão no lado esquerdo do plano complexo. A segunda condição, , restringe a parte imaginária desses números. Então, estamos olhando para uma região específica no lado esquerdo do plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira função: . A função exponencial no plano complexo transforma linhas retas verticais (com parte real fixa) em círculos no plano complexo. Além disso, adicionando 1, estamos deslocando essa transformação para a direita no plano.

Passo 4

Para a segunda função: , primeiro calculamos . A função pega apenas a parte imaginária do resultado dessa soma. Em seguida, multiplicamos por i, o que basicamente rotaciona o número resultante em 90 graus no plano complexo.

Passo 5

Vamos aplicar ao conjunto de pontos. Como Re(z) <= 0, o expoente e^z terá módulo menor ou igual a 1, porque . A adição de 1 desloca todos os pontos para a direita, então o mapeamento resultante estará em um disco de raio 1 centrado em 1 no plano complexo.

Passo 6

Agora, aplicando ao mesmo conjunto. Primeiro, obtemos a parte imaginária de , que varia conforme a parte imaginária de z. Multiplicando por i, essa parte imaginária se torna a parte real do novo número complexo, efetivamente projetando a transformação no eixo real.

Passo 7

Comparando os dois mapeamentos:
  • transforma a região original em um disco deslocado no plano complexo.
  • projeta a parte imaginária da transformação no eixo real, resultando em uma linha ou segmento no eixo real, dependendo dos limites dados.

Resposta

Portanto, ao aplicar , a região original é mapeada para um disco de raio 1 centrado em 1 no plano complexo. Já ao aplicar , a região é projetada em um segmento no eixo real, variando conforme a parte imaginária de z dentro dos limites especificados.

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