Mostre que a função
é harmônica em um domínio
adequado. Em seguida obtenha uma função harmônica
de modo que
seja uma função analítica em D e que satisfaça a condição
. Identifique a parte real e a imaginária de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é harmônica em um domínio adequado. Depois, vamos encontrar uma função harmônica
tal que
seja analítica nesse domínio e que satisfaça
. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma função harmônica e como aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função
é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, vamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, somamos as segundas derivadas:
Como a soma é zero, isso confirma que
é uma função harmônica.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função harmônica
tal que
seja analítica. Para isso, usamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Já calculamos
e
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, usamos a segunda Equação de Cauchy-Riemann:
Calculando
a partir da expressão de
:
Igualando as duas expressões:
Isso implica que:
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante. Para simplificar, podemos considerar
.
Passo 9
Portanto, a função
é:
Passo 10
Agora, temos
:
Passo 11
Para encontrar a constante de integração, usamos a condição
. Aqui,
significa que
e
. Substituindo esses valores:
Então,
Mas queremos que
. Isso significa que precisamos ajustar
subtraindo 13 para que
:
Passo 12
Finalmente, a função analítica
que satisfaz todas as condições é:
Resposta
A parte real de
é
e a parte imaginária é
. Portanto,