Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty (-1)^n+1 n4 n-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita da forma sumn=1^infty (-1)^n+1 n4n - 3. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem um resultado finito) ou diverge (não tem um resultado finito). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e os critérios de teste de convergência que podemos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de série que estamos lidando. Note que temos um termo (-1)^n+1, o que indica que a série é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa). Séries alternadas têm características especiais que podemos explorar para determinar sua convergência.

Passo 3

Para séries alternadas, um dos principais testes que podemos usar é o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série alternada da forma sumn=1^infty (-1)^n+1 bn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são decrescentes: bn+1 <= bn para todo n.
  2. O limite dos termos bn tende a zero: limn to infty bn = 0.
Vamos aplicar esse teste à nossa série.

Passo 4

Primeiro, definimos bn = n4n - 3. Precisamos verificar se bn é uma sequência decrescente e se seu limite é zero quando n tende ao infinito.

Passo 5

Vamos calcular o limite de bn quando n tende ao infinito:
limn to infty n4n - 3
Podemos dividir o numerador e o denominador por n:
limn to infty 14 - 3n = 14 - 0 = 14
Então, limn to infty bn = 14 neq 0.

Passo 6

O Teste da Série Alternada exige que limn to infty bn = 0 para que a série convirja. Como nesse caso o limite é 14, que não é igual a zero, o teste nos diz que a série não converge. Na verdade, se o limite dos termos não é zero, a série definitivamente diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 n4n - 3 diverge.

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