Complete as demonstrações abaixo justificando cada passagem.
Prove que se f: X \rightarrow Y é uma função injetora e Y é finito então o conjunto X é finito.
Demonstração: Devemos mostrar que existe uma bijeção h: X \rightarrow I_{n} para algum n \in \mathbb{N}. Para isso, considere a função f: X \rightarrow f(X). Use que f(X) é finito, e assim conclua que X é finito através da construção da função h.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se f\colon X\to Y é injetora e Y é finito, então X também é finito. Vamos usar a definição de “conjunto finito” como aquele que admite bijeção com algum I_{n}=\{1,2,\dots,n\}. O plano é: primeiro observar que f induz uma bijeção de X sobre a imagem f(X), depois usar que f(X)\subseteq Y é finito, obter uma bijeção de f(X) em I_{n} e, por fim, compor as bijeções para concluir que X é finito.

Passo 2

Defina a restrição
g\colon X \;\longrightarrow\; f(X),\qquad g(x)=f(x).
Como f é injetora, g é injetora, e claramente g é sobrejetora em f(X). Logo, g é bijeção entre X e f(X).

Passo 3

Sabendo que Y é finito e f(X)\subseteq Y, concluímos que f(X) também é finito. Por definição de finito, existe um n\in\mathbb{N} e uma bijeção
p\colon f(X)\;\longrightarrow\; I_{n}.

Passo 4

Considere agora a composição
h = p\circ g\colon X \;\longrightarrow\; I_{n}.
Como g e p são bijetoras, sua composição h também é bijeção de X sobre I_{n}.

Resposta

Como exibimos uma bijeção h\colon X\to I_{n}, concluímos que X é finito.

Exercícios relacionados