Complete as demonstrações abaixo justificando cada passagem.
Prove que se
é uma função injetora e
é finito então o conjunto
é finito.
Demonstração: Devemos mostrar que existe uma bijeção
para algum
. Para isso, considere a função
. Use que
é finito, e assim conclua que
é finito através da construção da função
.
Prove que se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é injetora e
é finito, então
também é finito. Vamos usar a definição de “conjunto finito” como aquele que admite bijeção com algum
. O plano é: primeiro observar que
induz uma bijeção de
sobre a imagem
, depois usar que
é finito, obter uma bijeção de
em
e, por fim, compor as bijeções para concluir que
é finito.
Passo 2
Defina a restrição
Como
é injetora,
é injetora, e claramente
é sobrejetora em
. Logo,
é bijeção entre
e
.
Passo 3
Sabendo que
é finito e
, concluímos que
também é finito. Por definição de finito, existe um
e uma bijeção
Passo 4
Considere agora a composição
Como
e
são bijetoras, sua composição
também é bijeção de
sobre
.
Resposta
Como exibimos uma bijeção
, concluímos que
é finito.