Um icosaedro truncado é um poliedro que serve como fundamento para a construção de uma figura espacial bem conhecia, a bola de futebol. A versão desta bola de futebol foi criada na copa do mundo de 1970. O icosaedro truncado possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Determine o número de arestas deste poliedro.
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
e) 90

Passo 1

O enunciado descreve o icosaedro truncado, que tem 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, e pede o número de arestas desse poliedro. O conteúdo aqui é a contagem de incidências faces-arestas e a aplicação da relação de que cada aresta é compartilhada por duas faces.

Passo 2

Cada face pentagonal contribui com 5 incidências aresta-face e cada face hexagonal com 6. Logo, o total de incidências é
12 \times 5 + 20 \times 6 = 60 + 120 = 180.

Passo 3

Como cada aresta aparece em exatamente duas faces, o número de arestas E é metade do total de incidências, isto é,
E = \frac{180}{2} = 90.

Passo 4

Como verificação extra, note que o número total de faces é F = 12 + 20 = 32. Se aplicarmos a fórmula de Euler V - E + F = 2, teríamos
V = E - F + 2 = 90 - 32 + 2 = 60,
que coincide com o número conhecido de vértices do icosaedro truncado.

Resposta

e) 90

Exercícios relacionados