\int \frac{e^{3 x}}{\left(1-2 e^{3 x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{3x}}{\bigl(1-2e^{3x}\bigr)^{2}}\,dx
O método mais direto é usar uma substituição do tipo u=1-2e^{3x}.

Passo 2

Definindo
u = 1-2e^{3x}
temos
\frac{du}{dx} = -6e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad e^{3x}\,dx = -\tfrac{1}{6}\,du.
Substituindo na integral original:
\int \frac{e^{3x}}{\bigl(1-2e^{3x}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{6}\,du}{u^{2}} = -\tfrac{1}{6}\int u^{-2}\,du.

Passo 3

Para integrar u^{-2} usamos
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1),
com n=-2. Assim,
-\tfrac{1}{6}\int u^{-2}\,du = -\tfrac{1}{6}\Bigl(\frac{u^{-1}}{-1}\Bigr) + C = \frac{1}{6u} + C.
Voltando à variável x,
\frac{1}{6u} = \frac{1}{6\bigl(1-2e^{3x}\bigr)}.

Resposta

\frac{1}{6\bigl(1-2e^{3x}\bigr)} + C

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