Complete com a expressão adequada
A área da região limitada por duas curvas, que são gráficos de funções \mathrm{f}(\mathrm{x}) e \mathrm{g}(\mathrm{x}) reais, onde \mathrm{f}(\mathrm{x})<\mathrm{g}(\mathrm{x}) definidas no mesmo domínio limitado [ a , b ], pode ser calculada pela da integral da diferenças dessas funções. Escreva a fórmula dessa área usando a integral definida.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a fórmula da área da região limitada pelos gráficos de duas funções reais f(x) e g(x) definidas no mesmo intervalo fechado [a,b], quando se tem f(x)<g(x) em todo o intervalo. As informações relevantes são:
  • As funções são reais e definidas em [a,b].
  • Em todo o intervalo [a,b] vale f(x)<g(x).
  • Queremos a expressão da área da região limitada entre esses dois gráficos e as retas verticais x=a e x=b.

Passo 2

Intuição geométrica: para cada abscissa x entre a e b podemos desenhar um pequeno retângulo vertical cuja altura dá a distância vertical entre as curvas. Como g(x) está acima de f(x), essa altura é g(x)-f(x). Multiplicando essa altura por uma largura infinitesimal dx obtemos a área de uma “fatia” estreita da região.

Passo 3

A ideia formal usa somas de Riemann. Particionamos o intervalo [a,b] em n subintervalos com comprimentos \Delta x_i e escolhemos um ponto x_i^* em cada subintervalo. A área aproximada pela soma de retângulos é
\sum_{i=1}^{n} \bigl(g(x_i^*)-f(x_i^*)\bigr)\,\Delta x_i.
Cada termo representa a área aproximada da fatia vertical no subintervalo i.

Passo 4

Ao refinarmos a partição (isto é, ao fazermos n\to\infty e \max \Delta x_i \to 0) a soma de Riemann converge para a integral definida. Assim a área exata é o limite dessa soma, que é a integral de g(x)-f(x) de a até b:
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Significado dos símbolos na fórmula: na expressão \int_{a}^{b}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx,
  • a e b são os limites do intervalo em x que definem a região;
  • g(x)-f(x) é a altura da fatia vertical em cada x;
  • dx representa a espessura infinitesimal da fatia;
  • a integral soma (no sentido de limite de somas de Riemann) todas essas fatias desde x=a até x=b.

Passo 6

Observação importante: a condição f(x)<g(x) garante que o integrando g(x)-f(x) seja positivo em todo o intervalo, então a integral dá diretamente a área (valor positivo). Se as funções se cruzassem, teríamos que separar o intervalo em subintervalos onde uma função está acima da outra e somar as integrais dos valores absolutos das diferenças.

Resposta

\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dxÁ

Exercícios relacionados