Complete com a expressão adequada
A área da região limitada por duas curvas, que são gráficos de funções
e
reais, onde
definidas no mesmo domínio limitado [ a , b ], pode ser calculada pela da integral da diferenças dessas funções. Escreva a fórmula dessa área usando a integral definida.
A área da região limitada por duas curvas, que são gráficos de funções
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a fórmula da área da região limitada pelos gráficos de duas funções reais
e
definidas no mesmo intervalo fechado
, quando se tem
em todo o intervalo. As informações relevantes são:
- As funções são reais e definidas em
. - Em todo o intervalo
vale . - Queremos a expressão da área da região limitada entre esses dois gráficos e as retas verticais
e .
Passo 2
Intuição geométrica: para cada abscissa
entre
e
podemos desenhar um pequeno retângulo vertical cuja altura dá a distância vertical entre as curvas. Como
está acima de
, essa altura é
. Multiplicando essa altura por uma largura infinitesimal
obtemos a área de uma “fatia” estreita da região.
Passo 3
A ideia formal usa somas de Riemann. Particionamos o intervalo
em
subintervalos com comprimentos
e escolhemos um ponto
em cada subintervalo. A área aproximada pela soma de retângulos é
Cada termo representa a área aproximada da fatia vertical no subintervalo
.
Passo 4
Ao refinarmos a partição (isto é, ao fazermos
e
) a soma de Riemann converge para a integral definida. Assim a área exata é o limite dessa soma, que é a integral de
de
até
:
Passo 5
Significado dos símbolos na fórmula: na expressão
,
-
e são os limites do intervalo em que definem a região; -
é a altura da fatia vertical em cada ; -
representa a espessura infinitesimal da fatia; - a integral soma (no sentido de limite de somas de Riemann) todas essas fatias desde
até .
Passo 6
Observação importante: a condição
garante que o integrando
seja positivo em todo o intervalo, então a integral dá diretamente a área (valor positivo). Se as funções se cruzassem, teríamos que separar o intervalo em subintervalos onde uma função está acima da outra e somar as integrais dos valores absolutos das diferenças.