Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z)=x^{3} y z^{2}+2 y z

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função. As informações dadas são:
f(x,y,z)=x^{3}y z^{2}+2y z.
Precisamos encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática)? Quando calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} estamos derivando em relação a x mantendo y e z como constantes. O mesmo vale para as outras variáveis: cada vez que derivamos em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.
Regras que vamos usar (explicando de leve):
  • Regra da linearidade: \displaystyle \frac{d}{dx}(g+h)=\frac{d}{dx}g+\frac{d}{dx}h.
  • Regra do fator constante: se c é constante (inclui aqui y e z quando derivamos em relação a x), então \displaystyle \frac{d}{dx}(c\cdot u(x))=c\cdot \frac{d}{dx}u(x).
  • Regra da potência (power rule): \displaystyle \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para n inteiro (ou real).
    Aplicando essas ideias às derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes e aplicamos as regras acima.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Escrevemos cada termo destacando o que depende de x:
f(x,y,z)=\bigl(x^{3}\bigr)\cdot y\cdot z^{2} + 2y z.
Ao derivar em relação a x, y e z são constantes. Pelo fator constante, o primeiro termo tem derivada
y z^{2}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=y z^{2}\cdot 3x^{2}=3x^{2}y z^{2}.
O segundo termo 2y z não depende de x, então sua derivada em relação a x é 0. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y z^{2}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora derivamos em relação a y, tratando x e z como constantes. Reescrevendo:
f(x,y,z)=x^{3} z^{2}\cdot y + 2z\cdot y.
Cada termo é linear em y. Usando que \frac{d}{dy}y=1 e a regra do fator constante:
  • Derivada do primeiro termo: x^{3}z^{2}\cdot 1 = x^{3}z^{2}.
  • Derivada do segundo termo: 2z\cdot 1 = 2z.
    Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}z^{2}+2z.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Derivamos em relação a z, tratando x e y como constantes. Reescrevendo os termos:
f(x,y,z)=x^{3}y\cdot z^{2} + 2y\cdot z.
Aplicando a regra da potência ao fator z^{2} (com x^{3}y como constante multiplicativo):
  • Derivada do primeiro termo: x^{3}y\cdot \frac{d}{dz}z^{2}=x^{3}y\cdot 2z = 2x^{3}y z.
  • Derivada do segundo termo: 2y\cdot \frac{d}{dz}z = 2y.
    Somando,
\frac{\partial f}{\partial z}=2x^{3}y z + 2y.
Podemos fatorar 2y se quisermos: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2y\bigl(x^{3}z+1\bigr).

Passo 6

Dica prática para a prova: identifique a variável de derivação, trate as demais como constantes, aplique o power rule e a linearidade. Se houver produtos em que só uma parte depende da variável, use a regra do fator constante para simplificar rapidamente. Força aí — você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y z^{2}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}z^{2}+2z
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2x^{3}y z+2y

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