Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função. As informações dadas são:
Precisamos encontrar
,
e
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática)? Quando calculamos
estamos derivando em relação a
mantendo
e
como constantes. O mesmo vale para as outras variáveis: cada vez que derivamos em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.
Regras que vamos usar (explicando de leve):
- Regra da linearidade:
. - Regra do fator constante: se
é constante (inclui aqui e quando derivamos em relação a ), então . - Regra da potência (power rule):
para inteiro (ou real).
Aplicando essas ideias às derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes e aplicamos as regras acima.
Passo 3
Cálculo de
.
Escrevemos cada termo destacando o que depende de
:
Ao derivar em relação a
,
e
são constantes. Pelo fator constante, o primeiro termo tem derivada
O segundo termo
não depende de
, então sua derivada em relação a
é
. Portanto
Passo 4
Cálculo de
.
Agora derivamos em relação a
, tratando
e
como constantes. Reescrevendo:
Cada termo é linear em
. Usando que
e a regra do fator constante:
- Derivada do primeiro termo:
- Derivada do segundo termo:
Somando,
Passo 5
Cálculo de
.
Derivamos em relação a
, tratando
e
como constantes. Reescrevendo os termos:
Aplicando a regra da potência ao fator
(com
como constante multiplicativo):
- Derivada do primeiro termo:
- Derivada do segundo termo:
Somando,
Podemos fatorar
se quisermos:
.
Passo 6
Dica prática para a prova: identifique a variável de derivação, trate as demais como constantes, aplique o power rule e a linearidade. Se houver produtos em que só uma parte depende da variável, use a regra do fator constante para simplificar rapidamente. Força aí — você consegue!