Questão 3 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A, com vetor diretor igual ao vetor normal do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}=(1,-2,0), \mathrm{B}=(0,-1,2) e \mathrm{C}=(1,0,-1). Sabendo que
Resposta \_\_\_\_
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A e cujo vetor diretor é igual ao vetor normal do plano que contém os pontos A, B e C.
Dados fornecidos (coordenadas dos pontos):
A=(1,-2,0),\quad B=(0,-1,2),\quad C=(1,0,-1).
Passo 2
Primeiro preciso obter vetores no plano para calcular o vetor normal. A regra para obter o vetor que vai de um ponto P a um ponto Q é subtrair coordenadas: \overrightarrow{PQ}=Q-P. Vou calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Expliquei: cada componente é a diferença entre as coordenadas correspondentes dos pontos.
Passo 3
O vetor normal ao plano que passa por A,B,C pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) de \overrightarrow{AB} com \overrightarrow{AC}. Vou explicar a fórmula do produto vetorial: para dois vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3),
Observação importante: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é um vetor normal ao mesmo plano. Para deixar os números positivos (apenas por conveniência), posso multiplicar por -1 e obter um vetor equivalente:
\vec{n} = (5,\,1,\,2).
Esse vetor \vec{n} é igualmente válido como vetor normal ao plano e, segundo o enunciado, será usado como vetor diretor da reta pedida.
Passo 5
A equação vetorial da reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{d}=(d_1,d_2,d_3) é