Questão 3 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A, com vetor diretor igual ao vetor normal do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}=(1,-2,0), \mathrm{B}=(0,-1,2) e \mathrm{C}=(1,0,-1). Sabendo que
Resposta \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A e cujo vetor diretor é igual ao vetor normal do plano que contém os pontos A, B e C.
Dados fornecidos (coordenadas dos pontos):
A=(1,-2,0),\quad B=(0,-1,2),\quad C=(1,0,-1).

Passo 2

Primeiro preciso obter vetores no plano para calcular o vetor normal. A regra para obter o vetor que vai de um ponto P a um ponto Q é subtrair coordenadas: \overrightarrow{PQ}=Q-P. Vou calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Calculemos:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,\,-1-(-2),\,2-0)=(-1,\,1,\,2).
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-1,\,0-(-2),\,-1-0)=(0,\,2,\,-1).
Expliquei: cada componente é a diferença entre as coordenadas correspondentes dos pontos.

Passo 3

O vetor normal ao plano que passa por A,B,C pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) de \overrightarrow{AB} com \overrightarrow{AC}. Vou explicar a fórmula do produto vetorial: para dois vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3),
(u_1,u_2,u_3)\times(v_1,v_2,v_3)=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Agora aplico essa definição a \overrightarrow{AB}=(-1,1,2) e \overrightarrow{AC}=(0,2,-1).
Cálculo componente a componente:
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot(-1)-2\cdot2 = -1-4 = -5.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 2\cdot0-(-1)\cdot(-1) = 0-1 = -1.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = (-1)\cdot2-1\cdot0 = -2-0 = -2.
Portanto o produto vetorial é
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-5,\,-1,\,-2).

Passo 4

Observação importante: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é um vetor normal ao mesmo plano. Para deixar os números positivos (apenas por conveniência), posso multiplicar por -1 e obter um vetor equivalente:
\vec{n} = (5,\,1,\,2).
Esse vetor \vec{n} é igualmente válido como vetor normal ao plano e, segundo o enunciado, será usado como vetor diretor da reta pedida.

Passo 5

A equação vetorial da reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{d}=(d_1,d_2,d_3) é
\vec{r}=\bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)+t\,(d_1,d_2,d_3),\quad t\in\mathbb{R},
onde t é o parâmetro que varre todos os pontos da reta.
Aqui P=A=(1,-2,0) e \vec{d}=\vec{n}=(5,1,2) (ou poderia usar (-5,-1,-2), ambos equivalentes). Assim a equação vetorial fica
\vec{r}=(1,-2,0)+t(5,1,2),\quad t\in\mathbb{R}.
Se você preferir ver em coordenadas paramétricas, isso equivale a
x=1+5t,\qquad y=-2+t,\qquad z=0+2t.

Resposta

\displaystyle \vec{r}=(1,-2,0)+t(5,1,2),\;t\in\mathbb{R}

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