1. Complete o resultado da operação
    2\left(\cos 15^{\circ}+j \operatorname{sen} 15^{\circ}\right) \times 4\left(\cos 35^{\circ}+j \operatorname{sen} 35^{\circ}\right)= \qquad ( cos \qquad +j \operatorname{sen} \qquad )
  2. Calcule a potência do número complexo. Apresente sua resposta na forma a+j b. (-1+j)^{12}

Passo 1

Temos dois itens para resolver. No item 4 precisamos multiplicar dois números complexos em forma polar, ou seja, usar que o módulo do produto é o produto dos módulos e o argumento do produto é a soma dos argumentos. No item 5 vamos usar o Teorema de De Moivre para elevar um número complexo à décima segunda potência, passando antes para a forma polar e depois voltando para a forma retangular a + j b.

Passo 2

Item 4:
O primeiro número é 2(\cos15^\circ + j\,\operatorname{sen}15^\circ) e o segundo é 4(\cos35^\circ + j\,\operatorname{sen}35^\circ).
– Módulo do produto: 2 \times 4 = 8.
– Argumento do produto: 15^\circ + 35^\circ = 50^\circ.
Logo o resultado em forma polar é
8\bigl(\cos50^\circ + j\,\operatorname{sen}50^\circ\bigr).

Passo 3

Item 5:
Seja z = -1 + j. Primeiro convertemos z para a forma polar:
– Módulo: \lvert z\rvert = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
– Argumento: \arg z = 135^\circ (pois x<0 e y>0).
Assim
z = \sqrt{2}\bigl(\cos135^\circ + j\,\operatorname{sen}135^\circ\bigr).
Pela fórmula de De Moivre,
z^{12} =\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{12}\bigl[\cos(12\cdot135^\circ)+j\,\operatorname{sen}(12\cdot135^\circ)\bigr].
Calculamos \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{12} = 2^6 = 64
e
12\times135^\circ = 1620^\circ,\quad 1620^\circ \bmod 360^\circ = 180^\circ.
Logo
z^{12} = 64\bigl(\cos180^\circ + j\,\operatorname{sen}180^\circ\bigr) = 64(-1 + j\cdot0) = -64 + j0.

Resposta

  1. 8\bigl(\cos50^\circ + j\,\operatorname{sen}50^\circ\bigr)
  2. -64 + j0

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