Considere os vetores \vec{u}=(1,1,-1,2), \vec{v}=(2,-1,-2,-1), \vec{w}=(1,3,-1,3) e \vec{h}=(2,1,-2,0). Mostre que \vec{h} \in \mathcal{L}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}. Determine um vetor do \mathbb{R}^{4} que não pertence a \mathcal{L}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(1,1,-1,2), \vec{v}=(2,-1,-2,-1), \vec{w}=(1,3,-1,3) e \vec{h}=(2,1,-2,0). A tarefa é mostrar que \vec{h} pertence ao espaço gerado por \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} (ou seja, é combinação linear) e depois exibir um vetor de \mathbb{R}^4 que não esteja nesse espaço. Para isso, vamos usar sistemas lineares para encontrar coeficientes da combinação e, em seguida, caracterizar o subespaço por uma equação linear.

Passo 2

Assumimos que existam escalares a,b,c tais que
a\,\vec{u}+b\,\vec{v}+c\,\vec{w}=\vec{h}.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b + c = 2,\\\ a - b + 3c = 1,\\\\ -\,a -2b - c = -2,\\\\ 2a - b + 3c = 0. \end{cases}
Note que a terceira equação é exatamente a negação da primeira, logo é redundante.

Passo 3

Resolvendo as duas primeiras e a última:
da primeira menos a segunda segue 3b -2c=1.
da quarta menos a segunda segue a=1.
Substituindo a=1 em a+2b+c=2 2b+c=1, e em a-b+3c=1 -b+3c=0.
Dessas duas obtemos c=1, b=1 e então a=-1.

Passo 4

Concluímos que
\vec{h}=-1\cdot\vec{u}+1\cdot\vec{v}+1\cdot\vec{w},
ou seja, \vec{h}\in\mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}.
Para achar um vetor fora desse espaço, notamos que qualquer vetor \vec{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4) no span satisfaz uma única condição linear, que pode ser obtida encontrando n=(n_1,n_2,n_3,n_4) ortogonal a \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Fazendo n\cdot\vec{u}=n\cdot\vec{v}=n\cdot\vec{w}=0 obtemos, por exemplo,
n=(1,0,1,0),
e daí n\cdot\vec{x}=x_1+x_3=0 caracteriza o subespaço.

Passo 5

Qualquer vetor \vec{z} com z_1+z_3\neq0 não está naquele span. Um exemplo simples é
\vec{z}=(1,0,0,0),
pois 1+0\neq0. Logo \vec{z}\notin\mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}.

Resposta

\vec{h}=-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} pertence a \mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}.
Um vetor em \mathbb{R}^4 que não pertence a esse espaço é, por exemplo, \vec{z}=(1,0,0,0).

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