Complete a seguinte tabela e responda:
X(quantidade produzida) R(receita: R$) Par ordenado ( \mathrm{x}, \mathrm{R} )
0
2
3
5
7
8
10
12
X(quantidade produzida) R(receita: R$) Par ordenado ( \mathrm{x}, \mathrm{R} )
0 0 (0,0)
2 100 (2,100)
3 150 (3,150)
5 250 (5,250)
7 350 (7,350)
8 400 (8,400)
10 500 (10,500)
12 600 (12,600)
  • A receita R da empresa representa o dinheiro recolhido pela venda de seus produtos. Qual a sentença matemática que relaciona a receita \mathbf{R} para x itens produzidos e vendidos?
R(x)=50 x

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com a quantidade produzida x e a receita R correspondente, e pede para encontrar a sentença matemática que relaciona a receita R com o número de itens x. Informações dadas (retiradas da tabela fornecida):
  • Para x=0, R=0 (par ordenado (0,0)).
  • Para x=2, R=100 (par ordenado (2,100)).
  • Para x=3, R=150 (par ordenado (3,150)).
  • Para x=5, R=250 (par ordenado (5,250)).
  • Para x=7, R=350 (par ordenado (7,350)).
  • Para x=8, R=400 (par ordenado (8,400)).
  • Para x=10, R=500 (par ordenado (10,500)).
  • Para x=12, R=600 (par ordenado (12,600)).
A pergunta explícita: qual a sentença matemática R(x)=\\ ? que relaciona a receita com x.

Passo 2

Observação inicial: os pares parecem alinhar-se numa relação proporcional (reta que passa pela origem). Para testar isso é útil calcular a diferença de receita por unidade adicional — isto é, a “variação média” ou a inclinação entre dois pontos da tabela.
Calcule a taxa entre dois pares próximos (pegando, por exemplo, (2,100) e (3,150)):
\text{slope}=\frac{\Delta R}{\Delta x}=\frac{150-100}{3-2}=\frac{50}{1}=50.
Isso sugere que, ao aumentar a produção de uma unidade, a receita aumenta em \,50 reais.

Passo 3

Verificar a constância dessa taxa em outros pares para confirmar que a relação é linear com coeficiente constante. Por exemplo, entre (5,250) e (7,350):
\frac{350-250}{7-5}=\frac{100}{2}=50.
Entre (8,400) e (12,600):
\frac{600-400}{12-8}=\frac{200}{4}=50.
Em todos os casos a taxa é 50. Isso confirma que a receita cresce linearmente com x com inclinação 50.

Passo 4

Modelo linear geral: uma relação linear entre R e x pode ser escrita como
R(x)=m x + b,
onde m é a inclinação (receita por unidade) e b é o termo constante (receita quando x=0).

Passo 5

Determinar m e b:
  • Já encontramos m=50 (reais por unidade).
  • Usar o ponto (0,0) (dado na tabela) para achar b: substituindo na expressão,
0=50\cdot 0 + b \quad\Rightarrow\quad b=0.

Passo 6

Substituindo m e b no modelo geral obtém-se a função receita:
R(x)=50x.
Interpretação prática: cada item vendido gera 50 reais de receita; com x itens a receita é 50 vezes x.

Passo 7

Verificação final rápida com alguns valores da tabela: para x=10,
R(10)=50\cdot 10=500,
que confere com o par (10,500) da tabela. Para x=3,
R(3)=50\cdot 3=150,
que confere com (3,150). Tudo consistente.

Resposta

R(x)=50x

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