Obter uma parametrização:
do cone
.
do cone
Passo 1
O que o problema pede: obter uma parametrização da superfície dada pela equação
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A superfície é descrita por
. - Pelo formato da fórmula, tem simetria circular em torno do eixo
. - O valor de
é sempre não-positivo ( ), pois . - O ponto
dá (vértice/apex da superfície).
O enunciado só pede a parametrização; não foi dada restrição adicional (por exemplo, só uma porção do cone), então buscamos uma parametrização para todo o cone (incluindo o vértice).
Passo 2
Motivação do método (por que escolher polar/cilíndricas): a equação envolve
, que é exatamente o raio em coordenadas polares/cilíndricas. Para superfícies com simetria circular em
é natural usar parâmetros
(distância ao eixo) e
(ângulo). Isso simplifica muito as contas e dá uma parametrização direta e intuitiva.
Recordando as fórmulas de coordenadas polares (no plano
):
onde
e
. Nesta notação
.
Passo 3
Usando as fórmulas polares e a equação
, obtém-se imediatamente as componentes
em função de
e
:
Isso já é uma parametrização. Em forma vetorial:
Domínio dos parâmetros:
Passo 4
Verificação rápida de que a parametrização realmente descreve a superfície: calcular
com
:
logo
, que é exatamente a equação dada. Portanto a parametrização está correta (inclui o vértice quando
).
Passo 5
Regularidade da parametrização (como saber se é “boa” exceto no vértice): calcule as derivadas parciais
O produto vetorial é
cuja norma é
. Isso mostra que a parametrização é regular (as derivadas são linearmente independentes) para todo
; no ponto
(o vértice) a parametrização é singular, o que é esperado (o vértice não tem uma base tangente bem definida).
Passo 6
Observações úteis para a prova e variações:
- Para parametrizar só uma porção limitada do cone: escolher
com fixo e . - A curva de interseção do cone com o plano
(com ) corresponde a , ou seja o círculo . - Se precisar do vetor normal (não unitário) numa prova, pode usar
.
Força aí — essa parametrização é bem direta e cai facilmente em questões de provas. Se quiser, eu mostro também a parametrização por um outro conjunto de parâmetros (por exemplo usando um parâmetro linear
em vez de
), ou já já fazemos alguns exercícios com integrais sobre este cone.