Obter uma parametrização:
do cone z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O que o problema pede: obter uma parametrização da superfície dada pela equação \,z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A superfície é descrita por \,z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
  • Pelo formato da fórmula, tem simetria circular em torno do eixo z.
  • O valor de z é sempre não-positivo ( z\le 0), pois \sqrt{x^2+y^2}\ge 0.
  • O ponto x=y=0 z=0 (vértice/apex da superfície).
O enunciado só pede a parametrização; não foi dada restrição adicional (por exemplo, só uma porção do cone), então buscamos uma parametrização para todo o cone (incluindo o vértice).

Passo 2

Motivação do método (por que escolher polar/cilíndricas): a equação envolve \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é exatamente o raio em coordenadas polares/cilíndricas. Para superfícies com simetria circular em x,y é natural usar parâmetros r (distância ao eixo) e \theta (ângulo). Isso simplifica muito as contas e dá uma parametrização direta e intuitiva.
Recordando as fórmulas de coordenadas polares (no plano xy):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Nesta notação \,r=\sqrt{x^2+y^2}\,.

Passo 3

Usando as fórmulas polares e a equação z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=-r, obtém-se imediatamente as componentes x,y,z em função de r e \theta:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = -r.
Isso já é uma parametrização. Em forma vetorial:
\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;-r\bigr).
Domínio dos parâmetros: \,r\in[0,\infty),\\ \theta\in[0,2\pi).

Passo 4

Verificação rápida de que a parametrização realmente descreve a superfície: calcular \sqrt{x^{2}+y^{2}} com x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}=\sqrt{r^{2}}=r,
logo z=-r=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é exatamente a equação dada. Portanto a parametrização está correta (inclui o vértice quando r=0).

Passo 5

Regularidade da parametrização (como saber se é “boa” exceto no vértice): calcule as derivadas parciais
\mathbf{r}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;-1),\qquad \mathbf{r}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta = r\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1\bigr),
cuja norma é \|\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\|=r\sqrt{2}. Isso mostra que a parametrização é regular (as derivadas são linearmente independentes) para todo r>0; no ponto r=0 (o vértice) a parametrização é singular, o que é esperado (o vértice não tem uma base tangente bem definida).

Passo 6

Observações úteis para a prova e variações:
  • Para parametrizar só uma porção limitada do cone: escolher r\in[0,R] com R>0 fixo e \theta\in[0,2\pi).
  • A curva de interseção do cone com o plano z=-c (com c>0) corresponde a r=c, ou seja o círculo (x,y,z)=(c\cos\theta,c\sin\theta,-c).
  • Se precisar do vetor normal (não unitário) numa prova, pode usar \mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta=r(\cos\theta,\sin\theta,1).
Força aí — essa parametrização é bem direta e cai facilmente em questões de provas. Se quiser, eu mostro também a parametrização por um outro conjunto de parâmetros (por exemplo usando um parâmetro linear u em vez de r), ou já já fazemos alguns exercícios com integrais sobre este cone.

Resposta

\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;-r\bigr),\quad r\in[0,\infty),\\ \theta\in[0,2\pi)

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