Obter uma parametrização:
do cilindro
.
do cilindro
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da superfície dada pela equação
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A superfície é descrita no espaço por coordenadas
. - A equação envolve apenas
e ; não há restrição para na equação dada. - Pedido: encontrar funções de parâmetros que gerem todos os pontos
que satisfaçam .
Passo 2
Intuição e ideia básica (a “aula” rápida): a equação
descreve um círculo de raio
no plano
(ou seja, fixando
). Um cilindro com essa base é o conjunto de todas as retas paralelas ao eixo
que passam por esse círculo — portanto o valor de
é livre (pode variar). Para parametrizar uma circunferência de raio
no plano usa-se a função trigonométrica clássica:
porque
garante que
. Aqui
.
Explicando os parâmetros:
- Use um parâmetro angular
para percorrer o círculo (posição ao redor do círculo). - Use um parâmetro
(ou ) para indicar a altura ao longo do eixo ; esse parâmetro é livre e varia em (ou em um intervalo se o cilindro for cortado em altura).
Passo 3
Construção explícita da parametrização. Tomando
como ângulo em torno do eixo
e
como a coordenada ao longo do eixo
, define-se:
Em forma vetorial (mais compacta):
Domínio natural dos parâmetros:
Passo 4
Verificação rápida de que a parametrização cumpre a equação do cilindro. Substituindo:
Portanto todos os pontos gerados por
satisfazem
. Além disso, para
variando em
obtém-se cada posição angular uma vez;
desloca verticalmente ao longo do eixo
.
Passo 5
Observações úteis para a prova e variações rápidas (para fixar a ideia):
- Pode-se trocar o nome dos parâmetros, por exemplo
em vez de ; o essencial é ter um parâmetro angular e um parâmetro linear para . - Se a questão pedir só a curva de interseção com um plano
, basta fixar na parametrização e obter a circunferência. - Exemplo numérico: para
e a parametrização dá , que satisfaz .