Obter uma parametrização:
do cilindro x^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície dada pela equação
x^{2}+z^{2}=9.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A superfície é descrita no espaço por coordenadas (x,y,z).
  • A equação envolve apenas x e z; não há restrição para y na equação dada.
  • Pedido: encontrar funções de parâmetros que gerem todos os pontos (x,y,z) que satisfaçam \,x^{2}+z^{2}=9\,.

Passo 2

Intuição e ideia básica (a “aula” rápida): a equação \,x^{2}+z^{2}=9\, descreve um círculo de raio 3 no plano xz (ou seja, fixando y). Um cilindro com essa base é o conjunto de todas as retas paralelas ao eixo y que passam por esse círculo — portanto o valor de y é livre (pode variar). Para parametrizar uma circunferência de raio R no plano usa-se a função trigonométrica clássica:
x = R\cos\theta,\qquad z = R\sin\theta,
porque \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 garante que x^{2}+z^{2}=R^{2}. Aqui R=3.
Explicando os parâmetros:
  • Use um parâmetro angular \theta para percorrer o círculo (posição ao redor do círculo).
  • Use um parâmetro v (ou y) para indicar a altura ao longo do eixo y; esse parâmetro é livre e varia em \mathbb{R} (ou em um intervalo se o cilindro for cortado em altura).

Passo 3

Construção explícita da parametrização. Tomando \theta como ângulo em torno do eixo y e v como a coordenada ao longo do eixo y, define-se:
x(\theta,v)=3\cos\theta,\qquad y(\theta,v)=v,\qquad z(\theta,v)=3\sin\theta.
Em forma vetorial (mais compacta):
\mathbf{r}(\theta,v)=(\,3\cos\theta,\; v,\; 3\sin\theta\,).
Domínio natural dos parâmetros:
\theta\in[0,2\pi),\qquad v\in\mathbb{R}.

Passo 4

Verificação rápida de que a parametrização cumpre a equação do cilindro. Substituindo:
x(\theta,v)^{2}+z(\theta,v)^{2}=(3\cos\theta)^{2}+(3\sin\theta)^{2}=9(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=9.
Portanto todos os pontos gerados por \mathbf{r}(\theta,v) satisfazem \,x^{2}+z^{2}=9\,. Além disso, para \theta variando em [0,2\pi) obtém-se cada posição angular uma vez; v desloca verticalmente ao longo do eixo y.

Passo 5

Observações úteis para a prova e variações rápidas (para fixar a ideia):
  • Pode-se trocar o nome dos parâmetros, por exemplo (u,y) em vez de (\theta,v); o essencial é ter um parâmetro angular e um parâmetro linear para y.
  • Se a questão pedir só a curva de interseção com um plano y=y_0, basta fixar v=y_0 na parametrização e obter a circunferência.
  • Exemplo numérico: para \theta=\tfrac{\pi}{2} e v=1 a parametrização dá (x,y,z)=(0,1,3), que satisfaz 0^{2}+3^{2}=9.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,v)=(\,3\cos\theta,\; v,\; 3\sin\theta\,),\qquad \theta\in[0,2\pi),\; v\in\mathbb{R}.

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