Complete a tabela de frequência a seguir, construa o histograma e o polígono de frequência usando a frequência relativa
Classe
Int. classe
1
1
2
0,25
3
14
4
0,90
5
2
Total
20
-
-
| Classe | Int. classe |
|
|
|
|
| 1 |
|
1 | |||
| 2 |
|
0,25 | |||
| 3 |
|
14 | |||
| 4 |
|
0,90 | |||
| 5 |
|
2 | |||
| Total | 20 | - | - |
Passo 1
O enunciado pede que eu complete a tabela de frequências (frequência absoluta
, frequência relativa
, frequência absoluta acumulada
e frequência relativa acumulada
), e que eu construa o histograma e o polígono de frequência usando a frequência relativa.
Informações dadas na tabela (peguei estes dados da tabela enviada):
- Total (soma das frequências absolutas):
. - Classe 1 (intervalo
): . - Classe 2 (intervalo
): . - Classe 3 (intervalo
): (frequência absoluta acumulada até a classe 3). - Classe 4 (intervalo
): (frequência relativa acumulada até a classe 4). - Classe 5 (intervalo
): .
O que é preciso completar:
- Encontrar
ausentes para cada classe, todas as , todas as e todas as . - Construir o histograma baseado nas frequências relativas.
- Construir o polígono de frequência baseado nas frequências relativas.
Passo 2
Conceitos rápidos e ferramentas que vou usar (aqui explico cada conceito com calma):
- Frequência absoluta
: número de observações na i-ésima classe. Ex.: significa que há 1 observação no intervalo da classe 1. - Frequência relativa
: proporção das observações na i-ésima classe; é dada por
onde
é o total das observações (aqui
). Explicando: se
e
, então
(ou
).
- Frequência absoluta acumulada
: soma das frequências absolutas desde a classe 1 até a classe . Por exemplo,
- Frequência relativa acumulada
: soma das frequências relativas até a classe . Também vale
- Histograma (uso correto): para que a área do retângulo de cada classe represente a frequência relativa (isto é, a área =
), a altura do retângulo deve ser a densidade de frequência relativa:
onde
é a largura (amplitude) da i-ésima classe. Observação importante: se todas as classes têm mesma largura, muitas vezes se coloca a altura diretamente igual a
(prática simples), mas o procedimento correto que garante área =
é usar a densidade (altura =
). Vou usar o procedimento correto (altura = densidade), e vou notar que aqui todas as classes têm mesma largura
(por exemplo,
), o que facilita.
- Polígono de frequência (usando frequência relativa): ponto em cada classe dado pelo ponto
. O polígono é a ligação por segmentos desses pontos; para fechar a forma costuma-se adicionar pontos nos limites externos com frequência relativa .
Passo 3
Determinar as frequências absolutas faltantes usando as informações dadas.
- Uso da frequência relativa acumulada da classe 4: foi dada
. Como e ,
Calculo:
Isto significa que a soma das frequências absolutas das classes 1 a 4 é
:
- Foi dada
. Isso dá
Subtraindo essa equação da equação para
,
Logo
.
- Foi dada
e . Como o total é , a soma das frequências das classes 2 e 3 é
- Foi dada a frequência relativa da classe 2:
. Como ,
- Então
.
Verificação rápida das frequências absolutas:
Soma:
(confere).
Passo 4
Calcular as frequências relativas
e as acumuladas
,
.
Cálculo direto de cada
:
-
. -
(dado). -
. -
. -
.
Verificação da soma das frequências relativas:
ou seja
, como esperado.
Frequências absolutas acumuladas
:
-
. -
. -
(dado e já calculado: ). -
(calculado antes). -
(total).
Frequências relativas acumuladas
:
-
. -
. -
. -
(dado). -
.
Passo 5
Apresento a tabela completa (valores numéricos finais). Esta é a tabela preenchida com todas as colunas pedidas:
Classe 1, intervalo
:
Classe 2, intervalo
:
Classe 3, intervalo
:
Classe 4, intervalo
:
Classe 5, intervalo
:
Observação didática: sempre que todas as classes têm a mesma largura (aqui
), pode-se perceber que a soma das áreas dos retângulos do histograma (altura = densidade
largura) será igual a
quando a altura for a densidade relativa. Vou agora indicar como construir o histograma corretamente e depois o polígono.
Passo 6
Construção do histograma (passo a passo, de forma que dê para desenhar sem ambiguidade):
- Verifique as larguras das classes: cada classe tem largura
- Para que a área de cada barra represente a frequência relativa da classe, calcule a densidade relativa de cada classe:
Cálculos:
- Eixos do gráfico:
- Eixo horizontal
: valores da variável, mostrar de até . - Eixo vertical
: densidade relativa (altura dos retângulos). Escolha escala que comporte o maior valor (por exemplo eixo de a ou ).
- Desenhe um retângulo para cada classe com:
- base na classe: por exemplo, para a classe 1 a base vai de
até . - altura igual à densidade relativa daquela classe (valores calculados acima).
Assim os retângulos a desenhar (coordenadas dos cantos superiores): - Classe 1: retângulo de
com altura . - Classe 2:
, altura . - Classe 3:
, altura . - Classe 4:
, altura . - Classe 5:
, altura .
- Checagem (áreas das barras somam 1): área de cada barra = densidade
largura . Soma das áreas:
Tudo coerente: a área total é
.
Observação prática e mais simples: se preferir uma versão mais direta (quando as larguras são iguais) pode-se traçar as barras com alturas iguais às frequências relativas
— muitos livros e professores aceitam isso — mas lembrando que nessa forma a área total não será numericamente igual a
(a interpretação muda). A forma que dei (altura = densidade) é a forma técnica correta para que a área represente proporção.
Passo 7
Construção do polígono de frequência (usando frequência relativa):
- Calcule os pontos médios de cada classe (ponto médio
= ):
- Classe 1:
- Classe 2:
- Classe 3:
- Classe 4:
- Classe 5:
- Para construir o polígono de frequência relativa, plote os pontos
:
- Conectar esses pontos por segmentos de reta na ordem das classes. Para fechar o polígono na base (opcionalmente, e comum em exercícios), adicione dois pontos finais nos limites extremos com frequência relativa zero:
Assim o polígono começa em
, passa pelos pontos médios indicados e termina em
.
- Eixos do gráfico para o polígono:
-
de a . -
de até, por exemplo, (um pouco acima de para visualizar o pico).
Passo 8
Resumo prático do que desenhar (passo a passo para a prova, curto e direto):
- Preencher a tabela com as frequências (ver passo 5).
- Para o histograma técnico: usar altura =
em cada intervalo . - Para o polígono: marcar os pontos médios
com alturas iguais às e ligar por segmentos; opcionalmente fechar em e com altura zero.
Resposta
Classe 1
:
Classe 2 :
Classe 3 :
Classe 4 :
Classe 5 :
Classe 2
Classe 3
Classe 4
Classe 5
Histograma (altura = densidade relativa =
): retângulos em
com
;
com
;
com
;
com
;
com
.
Polígono de frequência relativa: pontos a ligar
(opcionalmente fechar em
e
).