Complete a tabela de frequência a seguir, construa o histograma e o polígono de frequência usando a frequência relativa
Classe Int. classe \mathbf{f}_{\mathbf{i}} \mathbf{f}_{\mathbf{r i}} \mathbf{F}_{\mathbf{i}} \mathbf{F}_{\mathbf{r i}}
1 6 \vdash-10 1
2 10 \vdash-14 0,25
3 14 \vdash-18 14
4 18 \vdash-22 0,90
5 22 \vdash-26 2
Total 20 - -

Passo 1

O enunciado pede que eu complete a tabela de frequências (frequência absoluta \mathbf{f}_{i}, frequência relativa \mathbf{f}_{ri}, frequência absoluta acumulada \mathbf{F}_{i} e frequência relativa acumulada \mathbf{F}_{ri}), e que eu construa o histograma e o polígono de frequência usando a frequência relativa.
Informações dadas na tabela (peguei estes dados da tabela enviada):
  • Total (soma das frequências absolutas): \displaystyle 20.
  • Classe 1 (intervalo 6\vdash-10): \mathbf{f}_{1}=1.
  • Classe 2 (intervalo 10\vdash-14): \mathbf{f}_{r2}=0,25.
  • Classe 3 (intervalo 14\vdash-18): \mathbf{F}_{3}=14 (frequência absoluta acumulada até a classe 3).
  • Classe 4 (intervalo 18\vdash-22): \mathbf{F}_{r4}=0,90 (frequência relativa acumulada até a classe 4).
  • Classe 5 (intervalo 22\vdash-26): \mathbf{f}_{5}=2.
O que é preciso completar:
  • Encontrar \mathbf{f}_{i} ausentes para cada classe, todas as \mathbf{f}_{ri}, todas as \mathbf{F}_{i} e todas as \mathbf{F}_{ri}.
  • Construir o histograma baseado nas frequências relativas.
  • Construir o polígono de frequência baseado nas frequências relativas.

Passo 2

Conceitos rápidos e ferramentas que vou usar (aqui explico cada conceito com calma):
  • Frequência absoluta \mathbf{f}_{i}: número de observações na i-ésima classe. Ex.: \mathbf{f}_{1}=1 significa que há 1 observação no intervalo da classe 1.
  • Frequência relativa \mathbf{f}_{ri}: proporção das observações na i-ésima classe; é dada por
\mathbf{f}_{ri}=\frac{\mathbf{f}_{i}}{n},
onde n é o total das observações (aqui n=20). Explicando: se \mathbf{f}_{i}=5 e n=20, então \mathbf{f}_{ri}=\dfrac{5}{20}=0,25 (ou 25\%).
  • Frequência absoluta acumulada \mathbf{F}_{i}: soma das frequências absolutas desde a classe 1 até a classe i. Por exemplo,
\mathbf{F}_{3}=\mathbf{f}_{1}+\mathbf{f}_{2}+\mathbf{f}_{3}.
  • Frequência relativa acumulada \mathbf{F}_{ri}: soma das frequências relativas até a classe i. Também vale
\mathbf{F}_{ri}=\frac{\mathbf{F}_{i}}{n}.
  • Histograma (uso correto): para que a área do retângulo de cada classe represente a frequência relativa (isto é, a área = \mathbf{f}_{ri}), a altura do retângulo deve ser a densidade de frequência relativa:
\text{densidade relativa da classe }i = \frac{\mathbf{f}_{ri}}{h_i},
onde h_i é a largura (amplitude) da i-ésima classe. Observação importante: se todas as classes têm mesma largura, muitas vezes se coloca a altura diretamente igual a \mathbf{f}_{ri} (prática simples), mas o procedimento correto que garante área = \mathbf{f}_{ri} é usar a densidade (altura = \mathbf{f}_{ri}/h_i). Vou usar o procedimento correto (altura = densidade), e vou notar que aqui todas as classes têm mesma largura h=4 (por exemplo, 10-6=4), o que facilita.
  • Polígono de frequência (usando frequência relativa): ponto em cada classe dado pelo ponto (\text{ponto médio da classe},\,\mathbf{f}_{ri})é. O polígono é a ligação por segmentos desses pontos; para fechar a forma costuma-se adicionar pontos nos limites externos com frequência relativa 0.

Passo 3

Determinar as frequências absolutas faltantes usando as informações dadas.
  1. Uso da frequência relativa acumulada da classe 4: foi dada \mathbf{F}_{r4}=0,90. Como \mathbf{F}_{r4}=\dfrac{\mathbf{F}_{4}}{n} e n=20,
\mathbf{F}_{4}=0,90\cdot 20.
Calculo:
\mathbf{F}_{4}=0,90\cdot 20 = 18.
Isto significa que a soma das frequências absolutas das classes 1 a 4 é 18:
\mathbf{f}_{1}+\mathbf{f}_{2}+\mathbf{f}_{3}+\mathbf{f}_{4}=18.
  1. Foi dada \mathbf{F}_{3}=14. Isso dá
\mathbf{f}_{1}+\mathbf{f}_{2}+\mathbf{f}_{3}=14.
Subtraindo essa equação da equação para \mathbf{F}_{4},
(\mathbf{f}_{1}+\mathbf{f}_{2}+\mathbf{f}_{3}+\mathbf{f}_{4})-(\mathbf{f}_{1}+\mathbf{f}_{2}+\mathbf{f}_{3})=\mathbf{f}_{4}=18-14=4.
Logo \mathbf{f}_{4}=4.
  1. Foi dada \mathbf{f}_{1}=1 e \mathbf{f}_{5}=2. Como o total é 20, a soma das frequências das classes 2 e 3 é
\mathbf{f}_{2}+\mathbf{f}_{3}=20-(\mathbf{f}_{1}+\mathbf{f}_{4}+\mathbf{f}_{5})=20-(1+4+2)=13.
  1. Foi dada a frequência relativa da classe 2: \mathbf{f}_{r2}=0,25. Como \mathbf{f}_{r2}=\dfrac{\mathbf{f}_{2}}{20},
\mathbf{f}_{2}=0,25\cdot 20 = 5.
  1. Então \mathbf{f}_{3}=13-\mathbf{f}_{2}=13-5=8.
Verificação rápida das frequências absolutas:
\mathbf{f}_{1}=1,\quad \mathbf{f}_{2}=5,\quad \mathbf{f}_{3}=8,\quad \mathbf{f}_{4}=4,\quad \mathbf{f}_{5}=2.
Soma: 1+5+8+4+2=20 (confere).

Passo 4

Calcular as frequências relativas \mathbf{f}_{ri} e as acumuladas \mathbf{F}_{i}, \mathbf{F}_{ri}.
Cálculo direto de cada \mathbf{f}_{ri}=\dfrac{\mathbf{f}_{i}}{20}:
  • \mathbf{f}_{r1}=\dfrac{1}{20}=0,05.
  • \mathbf{f}_{r2}=\dfrac{5}{20}=0,25 (dado).
  • \mathbf{f}_{r3}=\dfrac{8}{20}=0,40.
  • \mathbf{f}_{r4}=\dfrac{4}{20}=0,20.
  • \mathbf{f}_{r5}=\dfrac{2}{20}=0,10.
Verificação da soma das frequências relativas:
0,05+0,25+0,40+0,20+0,10 = 1,00,
ou seja 100\%, como esperado.
Frequências absolutas acumuladas \mathbf{F}_{i}:
  • \mathbf{F}_{1}=\mathbf{f}_{1}=1.
  • \mathbf{F}_{2}=\mathbf{f}_{1}+\mathbf{f}_{2}=1+5=6.
  • \mathbf{F}_{3}=14 (dado e já calculado: 6+8=14).
  • \mathbf{F}_{4}=18 (calculado antes).
  • \mathbf{F}_{5}=20 (total).
Frequências relativas acumuladas \mathbf{F}_{ri}=\dfrac{\mathbf{F}_{i}}{20}:
  • \mathbf{F}_{r1}=\dfrac{1}{20}=0,05.
  • \mathbf{F}_{r2}=\dfrac{6}{20}=0,30.
  • \mathbf{F}_{r3}=\dfrac{14}{20}=0,70.
  • \mathbf{F}_{r4}=\dfrac{18}{20}=0,90 (dado).
  • \mathbf{F}_{r5}=\dfrac{20}{20}=1,00.

Passo 5

Apresento a tabela completa (valores numéricos finais). Esta é a tabela preenchida com todas as colunas pedidas:
Classe 1, intervalo 6\vdash-10:
\mathbf{f}_{1}=1,\quad \mathbf{f}_{r1}=0,05,\quad \mathbf{F}_{1}=1,\quad \mathbf{F}_{r1}=0,05.
Classe 2, intervalo 10\vdash-14:
\mathbf{f}_{2}=5,\quad \mathbf{f}_{r2}=0,25,\quad \mathbf{F}_{2}=6,\quad \mathbf{F}_{r2}=0,30.
Classe 3, intervalo 14\vdash-18:
\mathbf{f}_{3}=8,\quad \mathbf{f}_{r3}=0,40,\quad \mathbf{F}_{3}=14,\quad \mathbf{F}_{r3}=0,70.
Classe 4, intervalo 18\vdash-22:
\mathbf{f}_{4}=4,\quad \mathbf{f}_{r4}=0,20,\quad \mathbf{F}_{4}=18,\quad \mathbf{F}_{r4}=0,90.
Classe 5, intervalo 22\vdash-26:
\mathbf{f}_{5}=2,\quad \mathbf{f}_{r5}=0,10,\quad \mathbf{F}_{5}=20,\quad \mathbf{F}_{r5}=1,00.
Observação didática: sempre que todas as classes têm a mesma largura (aqui h=4), pode-se perceber que a soma das áreas dos retângulos do histograma (altura = densidade \times largura) será igual a 1 quando a altura for a densidade relativa. Vou agora indicar como construir o histograma corretamente e depois o polígono.

Passo 6

Construção do histograma (passo a passo, de forma que dê para desenhar sem ambiguidade):
  1. Verifique as larguras das classes: cada classe tem largura
h=10-6=4=14-10=18-14=22-18=26-22.
  1. Para que a área de cada barra represente a frequência relativa da classe, calcule a densidade relativa de cada classe:
\text{densidade}_i=\frac{\mathbf{f}_{ri}}{h}=\frac{\mathbf{f}_{ri}}{4}.
Cálculos:
  • \text{densidade}_1=\dfrac{0,05}{4}=0,0125.
  • \text{densidade}_2=\dfrac{0,25}{4}=0,0625.
  • \text{densidade}_3=\dfrac{0,40}{4}=0,10.
  • \text{densidade}_4=\dfrac{0,20}{4}=0,05.
  • \text{densidade}_5=\dfrac{0,10}{4}=0,025.
  1. Eixos do gráfico:
  • Eixo horizontal x: valores da variável, mostrar de 6 até 26.
  • Eixo vertical y: densidade relativa (altura dos retângulos). Escolha escala que comporte o maior valor 0,10 (por exemplo eixo y de 0 a 0,12 ou 0,15).
  1. Desenhe um retângulo para cada classe com:
  • base na classe: por exemplo, para a classe 1 a base vai de x=6 até x=10.
  • altura igual à densidade relativa daquela classe (valores calculados acima).
    Assim os retângulos a desenhar (coordenadas dos cantos superiores):
  • Classe 1: retângulo de x\in[6,10] com altura y=0,0125.
  • Classe 2: x\in[10,14], altura y=0,0625.
  • Classe 3: x\in[14,18], altura y=0,10.
  • Classe 4: x\in[18,22], altura y=0,05.
  • Classe 5: x\in[22,26], altura y=0,025.
  1. Checagem (áreas das barras somam 1): área de cada barra = densidade \times largura = \mathbf{f}_{ri}. Soma das áreas:
0,0125\cdot 4 + 0,0625\cdot 4 + 0,10\cdot 4 + 0,05\cdot 4 + 0,025\cdot 4 = 0,05+0,25+0,40+0,20+0,10=1,00.
Tudo coerente: a área total é 1.
Observação prática e mais simples: se preferir uma versão mais direta (quando as larguras são iguais) pode-se traçar as barras com alturas iguais às frequências relativas \mathbf{f}_{ri} — muitos livros e professores aceitam isso — mas lembrando que nessa forma a área total não será numericamente igual a 1 (a interpretação muda). A forma que dei (altura = densidade) é a forma técnica correta para que a área represente proporção.

Passo 7

Construção do polígono de frequência (usando frequência relativa):
  1. Calcule os pontos médios de cada classe (ponto médio m_i = \dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}):
  • Classe 1: m_1=\dfrac{6+10}{2}=8.
  • Classe 2: m_2=\dfrac{10+14}{2}=12.
  • Classe 3: m_3=\dfrac{14+18}{2}=16.
  • Classe 4: m_4=\dfrac{18+22}{2}=20.
  • Classe 5: m_5=\dfrac{22+26}{2}=24.
  1. Para construir o polígono de frequência relativa, plote os pontos (m_i,\mathbf{f}_{ri}):
(8,\,0,05),\quad (12,\,0,25),\quad (16,\,0,40),\quad (20,\,0,20),\quad (24,\,0,10).
  1. Conectar esses pontos por segmentos de reta na ordem das classes. Para fechar o polígono na base (opcionalmente, e comum em exercícios), adicione dois pontos finais nos limites extremos com frequência relativa zero:
(6,\,0),\quad (8,\,0,05),\\ \ldots,\\ (24,\,0,10),\\ (26,\,0).
Assim o polígono começa em (6,0), passa pelos pontos médios indicados e termina em (26,0).
  1. Eixos do gráfico para o polígono:
  • x de 6 a 26.
  • y de 0 até, por exemplo, 0,45 (um pouco acima de 0,40 para visualizar o pico).

Passo 8

Resumo prático do que desenhar (passo a passo para a prova, curto e direto):
  • Preencher a tabela com as frequências (ver passo 5).
  • Para o histograma técnico: usar altura = \dfrac{\mathbf{f}_{ri}}{4} em cada intervalo [6,10],[10,14],\dots,[22,26].
  • Para o polígono: marcar os pontos médios 8,12,16,20,24 com alturas iguais às \mathbf{f}_{ri} e ligar por segmentos; opcionalmente fechar em 6 e 26 com altura zero.

Resposta

Classe 1 [6\vdash-10]: \mathbf{f}_{1}=1,\\ \mathbf{f}_{r1}=0,05,\\ \mathbf{F}_{1}=1,\\ \mathbf{F}_{r1}=0,05
Classe 2 [10\vdash-14]: \mathbf{f}_{2}=5,\\ \mathbf{f}_{r2}=0,25,\\ \mathbf{F}_{2}=6,\\ \mathbf{F}_{r2}=0,30
Classe 3 [14\vdash-18]: \mathbf{f}_{3}=8,\\ \mathbf{f}_{r3}=0,40,\\ \mathbf{F}_{3}=14,\\ \mathbf{F}_{r3}=0,70
Classe 4 [18\vdash-22]: \mathbf{f}_{4}=4,\\ \mathbf{f}_{r4}=0,20,\\ \mathbf{F}_{4}=18,\\ \mathbf{F}_{r4}=0,90
Classe 5 [22\vdash-26]: \mathbf{f}_{5}=2,\\ \mathbf{f}_{r5}=0,10,\\ \mathbf{F}_{5}=20,\\ \mathbf{F}_{r5}=1,00
Histograma (altura = densidade relativa = \mathbf{f}_{ri}/4): retângulos em
[6,10] com y=0,0125; [10,14] com y=0,0625; [14,18] com y=0,10; [18,22] com y=0,05; [22,26] com y=0,025.
Polígono de frequência relativa: pontos a ligar (8,0,05),\\ (12,0,25),\\ (16,0,40),\\ (20,0,20),\\ (24,0,10) (opcionalmente fechar em (6,0) e (26,0)).

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