A cantina de uma escola selecionou 50 alunos ao acaso e verificou o número de vezes por semana que eles compravam lanche., obtendo os seguintes resultados: 0 ; 2 ; 2 ; 4 ; 3 ; 2 ; 2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1; 2; 2; 2; 3; 2; 2; 2; 0; 2; 2; 1; 1; 0; 2; 0; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 1; 2; 5; 4.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas com esses dados.( pode ser feito em algum software)
b) Quantos alunos compram pelo menos 2 lanches por semana?
c) Construa um gráfico de pontos( Dot Plot). ( pode ser feito em algum software)
d) calcule a média, a mediana, a moda, 10 e 30 quartis, a variância e o desvio padrão.
5) Complete a tabela de frequência a seguir, construa o histograma e o polígono de frequência usando a frequência absoluta

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de 50 alunos com o número de vezes por semana que compram lanche. Os dados (peguei-os do enunciado) são, em ordem de aparecimento:
0,\,2,\,2,\,4,\,3,\,2,\,2,\,1,\,1,\,2,\,1,\,1,\,0,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,2,\,2,\,2,\,3,\,2,\,2,\,2,\,0,\,2,\,2,\,1,\,1,\,0,\,2,\,0,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,1,\,2,\,5,\,4.
As perguntas que o enunciado faz são:
a) Construir tabela de distribuição de frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas.
b) Quantos alunos compram pelo menos 2 lanches por semana?
c) Construir um gráfico de pontos (dot plot).
d) Calcular a média, a mediana, a moda, o 1.º e o 3.º quartis, a variância e o desvio padrão.
5) Completar a tabela de frequência a seguir, construir o histograma e o polígono de frequência usando a frequência absoluta (observação: uma tabela “a seguir” é mencionada, mas não foi enviada).
A partir daqui eu vou resolver passo a passo cada item, explicando as fórmulas e mostrando os cálculos com calma.

Passo 2

Contagem das observações por valor (faço isto somando as ocorrências de cada número na lista). É útil agrupar por valores possíveis x=0,1,2,3,4,5.
  • Contei 5 observações iguais a 0.
  • Contei 13 observações iguais a 1.
  • Contei 27 observações iguais a 2.
  • Contei 2 observações iguais a 3.
  • Contei 2 observações iguais a 4.
  • Contei 1 observação igual a 5.
Agora monto a tabela de frequência absoluta f e a frequência absoluta acumulada F. A frequência absoluta acumulada F(x) até um valor x é a soma das frequências de todos os valores menores ou iguais a x.
Tabela (mostro os cálculos do acumulado):
  • Para x=0: f=5. Acumulado F=5.
  • Para x=1: f=13. Acumulado F=5+13=18.
  • Para x=2: f=27. Acumulado F=18+27=45.
  • Para x=3: f=2. Acumulado F=45+2=47.
  • Para x=4: f=2. Acumulado F=47+2=49.
  • Para x=5: f=1. Acumulado F=49+1=50.
Confirmei que a soma das frequências é 5+13+27+2+2+1=50, que é o tamanho da amostra.

Passo 3

Resposta à pergunta (b): “Quantos alunos compram pelo menos 2 lanches por semana?”
Explicação do raciocínio: “pelo menos 2” significa valores x\ge 2. Portanto somamos as frequências dos valores 2,3,4,5:
27 + 2 + 2 + 1 = 32.
Logo 32 alunos compram pelo menos 2 lanches por semana.

Passo 4

Construção do dot plot (gráfico de pontos) — explico como fazer e apresento uma versão textual:
Como fazer um dot plot:
  • No eixo horizontal coloca-se os valores possíveis ( 0,1,2,3,4,5).
  • Para cada observação coloca-se um ponto acima do valor correspondente. Se houver várias observações com o mesmo valor, empilha-se pontos verticalmente.
  • É um gráfico simples para visualizar a distribuição discreta.
Vou apresentar o dot plot em forma textual: cada \(\bullet) representa uma observação. (Isto é equivalente a desenhar pontos empilhados.)
\begin{aligned} 0:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\\\ 1:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\\\ 2:&\\ \\ \underbrace{\bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet}_{27\text{ vezes}}\\\\ 3:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\\\ 4:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\\\ 5:&\\ \\ \bullet \end{aligned}
(Isto mostra visualmente que 2 é o valor mais frequente, com muitos pontos empilhados.)

Passo 5

Cálculo da média (explicando a fórmula e fazendo passo a passo).
Fórmula da média amostral (método direto): a média aritmética \bar{x} é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Quando já temos uma tabela de frequências, usamos
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{x} x\cdot f(x),
onde f(x) é a frequência absoluta do valor x.
Calculo dos somatórios usando a tabela:
\sum x\cdot f(x)=0\cdot5 + 1\cdot13 + 2\cdot27 + 3\cdot2 + 4\cdot2 + 5\cdot1.
Faço cada produto:
0\cdot5=0,\quad 1\cdot13=13,\quad 2\cdot27=54,\quad 3\cdot2=6,\quad 4\cdot2=8,\quad 5\cdot1=5.
Somando:
\sum x\cdot f(x)=0+13+54+6+8+5=86.
Como n=50,
\bar{x}=\frac{86}{50}=1,72.

Passo 6

Cálculo da mediana (explicação e execução).
Definição rápida: a mediana é o valor central da amostra ordenada. Para n par (aqui n=50), a mediana é a média aritmética dos valores nas posições n/2 e n/2+1, ou seja das posições 25 e 26, quando os dados estão ordenados.
Usando a frequência acumulada:
  • Até x=1 temos F=18 observações.
  • Até x=2 temos F=45 observações.
As posições 25 e 26 caem na classe do valor 2 (porque a partir da 19.ª até a 45.ª observação o valor é 2). Logo ambos são 2. Assim a mediana é
\text{Mediana}=2.

Passo 7

Cálculo da moda.
Definição: moda é o valor com maior frequência absoluta.
Da tabela, a maior frequência é f(2)=27. Portanto a moda é
\text{Moda}=2.

Passo 8

Cálculo do 1.º e 3.º quartis (explico o procedimento que vou usar — método de Tukey / divisão das metades).
Um modo simples e frequentemente usado para quartis em amostras é:
  • Ordenar os dados e dividir em duas metades: a metade inferior (primeiras n/2 observações) e a metade superior (últimas n/2 observações) quando n é par.
  • O 1.º quartil Q_1 é a mediana da metade inferior.
  • O 3.º quartil Q_3 é a mediana da metade superior.
Aqui n=50, então a metade inferior são as observações nas posições 1 a 25 e a metade superior são as posições 26 a 50.
  • A mediana da metade inferior é a observação de posição 13 (porque 25 elementos → posição (25+1)/2=13).
  • A mediana da metade superior é a observação de posição 13 da metade superior → posição global 25+13=38.
Usando a frequência acumulada:
  • A 13.ª observação está na faixa x=1 (porque F(1)=18), então Q_1=1.
  • A 38.ª observação está na faixa x=2 (porque F(2)=45), então Q_3=2.
Portanto:
Q_1=1,\qquad Q_3=2.

Passo 9

Cálculo da variância e do desvio padrão (explicando fórmulas e mostrando cálculos).
Primeiro explico as duas fórmulas possíveis:
  • Variância populacional (quando se trata de toda população): \sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2.
  • Variância amostral não viciada (uso comum em estatística inferencial): s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Aqui vou calcular ambos os valores e explico o que usei. Para calcular essas somas é prático usar a identidade
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2.
Portanto preciso de \sum x_i^2.
Calculo de \sum x_i^2 a partir da tabela de frequências:
\sum x_i^2 = 0^2\cdot5 + 1^2\cdot13 + 2^2\cdot27 + 3^2\cdot2 + 4^2\cdot2 + 5^2\cdot1.
Faço cada termo:
0^2\cdot5=0,\quad 1^2\cdot13=13,\quad 2^2\cdot27=4\cdot27=108,
3^2\cdot2=9\cdot2=18,\quad 4^2\cdot2=16\cdot2=32,\quad 5^2\cdot1=25.
Somando:
\sum x_i^2 = 0+13+108+18+32+25 = 196.
Já temos \bar{x}=1,72 e n=50. Então
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 196 - 50\cdot(1,72)^2.
Calculo (1,72)^2 = 2,9584. Logo
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 196 - 50\cdot 2,9584 = 196 - 147,92 = 48,08.
Agora:
  • Variância populacional:
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{48,08}{50} = 0,9616.
Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{0,9616}\approx 0,981.
  • Variância amostral (não viciada):
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{48,08}{49}\approx 0,9804.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0,9804}\approx 0,9902\\ (\text{aprox. }0,99).
Observação prática: em muitos exercícios de descrição de dados usa-se a fórmula com n (variância populacional) se tratamos de todos os casos observados; em inferência geralmente se usa n-1. Eu apresentei ambos; o valor amostral s\approx 0,99 é o que costuma aparecer em exercícios de estatística descritiva quando se pede variância/amostra.

Passo 10

Resposta ao item 5 (tabela “a seguir”, histograma e polígono): o enunciado pede para completar “a tabela de frequência a seguir” e construir o histograma e o polígono, mas essa tabela não foi enviada no enunciado que recebi. Sem a tabela não dá para saber:
  • quais classes (se houver classes) e suas amplitudes,
  • ou se a tabela é exatamente a que eu já construí no item (a) (caso seja, então o histograma/polígono correspondem à frequência absoluta por valor 0,1,2,3,4,5).
Portanto, não há como completar especificamente uma “tabela a seguir” que não foi disponibilizada. Se a tabela que você quis dizer for a mesma que construí no item (a), eu já entreguei as frequências e com elas dá para construir o histograma (barras com alturas 5,13,27,2,2,1 para x=0,1,2,3,4,5) e o polígono de frequências ligando os pontos (x,f(x)). Se preferir, envie a tabela que falta e eu completo os cálculos e desenho passo a passo.

Resposta

a) Tabela de frequência absoluta e acumulada:
\begin{array}{c|c|c} \text{Valor }(x) & \text{Frequência absoluta }f(x) & \text{Frequência acumulada }F(x)\\hline 0 & 5 & 5\\\\ 1 & 13 & 18\\\\ 2 & 27 & 45\\\\ 3 & 2 & 47\\\\ 4 & 2 & 49\\\\ 5 & 1 & 50 \end{array}êê
b) Número de alunos que compram pelo menos 2 lanches por semana: 32.
c) Dot plot (cada \bullet representa uma observação):
\begin{aligned} 0:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\\\ 1:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\\\ 2:&\\ \\ \underbrace{\bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet\\ \bullet}_{27\\ \text{vezes}}\\\\ 3:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\\\ 4:&\\ \\ \bullet\\ \bullet\\\\ 5:&\\ \\ \bullet \end{aligned}
d) Estatísticas:
\bar{x}=\frac{86}{50}=1,72
\text{Mediana}=2
\text{Moda}=2
Q_1=1,\qquad Q_3=2
Variância e desvio padrão:
\sum x_i^2=196,\qquad \sum (x_i-\bar{x})^2=48,08
Variância populacional:
\sigma^2=\frac{48,08}{50}=0,9616,\qquad \sigma\approx0,981.
Variância amostral (não viciada):
s^2=\frac{48,08}{49}\approx0,9804,\qquad s\approx0,9902.
  1. Sobre completar a “tabela a seguir”, construir o histograma e o polígono: não é possível completar essa tarefa específica porque a tabela mencionada no enunciado não foi enviada. Se a tabela for aquela do item (a) acima, então o histograma teria barras com alturas 5,13,27,2,2,1 para x=0,1,2,3,4,5 e o polígono de frequência é o polígono que liga os pontos (0,5),(1,13),(2,27),(3,2),(4,2),(5,1).

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