1. Uma placa de 2 \times 3 \mathrm{~m}, ao lado, e de 5 kN de peso é suspensa por três cabos unidos no ponto D, que está localizado acima do centro de gravidade da placa. Para esta situação determine a força que atua em cada cabo.

Passo 1

Temos uma placa rígida e homogênea de dimensões 2\times3,m e peso W=5,kN. Ela está presa por três cabos, que vão dos pontos A, B e C na placa até um nó comum em D. O ponto D está exatamente sobre o centro de gravidade da placa, de modo que a projeção vertical de D coincide com o CG. Queremos achar as três tensões T_A, T_B e T_C nos cabos, usando as equações de equilíbrio estático (soma de forças e soma de momentos).

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos
x\;=\;\text{direção horizontal para a direita},\quad y\;=\;\text{direção horizontal para dentro da página},\quad z\;=\;\text{direção vertical para cima}.çãçãáçã
Tomamos a origem no CG da placa (na superfície, z=0). Assim:
– O ponto D fica em (0,0,2{,}5) em metros.
– Os pontos de ancoragem das hastes (aproximação triângulo) são, por exemplo,
A=(-1,\,0,\,0),
B=(+1,\,0,\,0)
C=(0,\,-1{,}5,\,0),
pois a placa tem largura 2,m em x e profundidade 3,m em y, e cada cabo prende nos pontos do contorno.

Passo 3

As tensões atuam ao longo dos vetores \vec r_i de cada ponto de ancoragem até D. Chamando
\vec r_A = D - A=(1,\,0,\,2{,}5),\quad \vec r_B=D - B=(-1,\,0,\,2{,}5),\quad \vec r_C=D - C=(0,\,1{,}5,\,2{,}5),
os comprimentos são
L_A=\|\vec r_A\|=\sqrt{1^2+0^2+2{,}5^2}=\sqrt{7{,}25},\quad L_B=L_A,\quad L_C=\sqrt{0^2+1{,}5^2+2{,}5^2}=\sqrt{8{,}5}.
E os versores são
\mathbf u_A=\frac{\vec r_A}{L_A},\quad \mathbf u_B=\frac{\vec r_B}{L_B},\quad \mathbf u_C=\frac{\vec r_C}{L_C}.

Passo 4

Escrevemos o equilíbrio de forças em x,y,z. A força peso é
\mathbf W=(0,0,-5)\text{ kN}.
Logo
T_A\,\mathbf u_A+T_B\,\mathbf u_B+T_C\,\mathbf u_C+\mathbf W=\mathbf 0.

Passo 5

Das componentes horizontais em x e em y obtemos
x\!:\quad \frac{1}{L_A}T_A \;-\;\frac{1}{L_A}T_B \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad T_A=T_B,
y\!:\quad 0\cdot T_A +0\cdot T_B +\frac{1{,}5}{L_C}T_C=0 \quad\Longrightarrow\quad T_C\;\text{não aparece na eq. de peso (só arrastei y)},ãó
mas o único equilíbrio vertical ( z) dá
z\!:\quad\frac{2{,}5}{L_A}T_A+\frac{2{,}5}{L_B}T_B+\frac{2{,}5}{L_C}T_C-5=0.
Substituindo T_B=T_A e L_A=L_B:
2\;\frac{2{,}5}{\sqrt{7{,}25}}\,T_A \;+\;\frac{2{,}5}{\sqrt{8{,}5}}\,T_C \;=\;5.

Passo 6

Resumindo, do equilíbrio obtemos apenas duas equações independentes
T_A=T_B, \qquad 2\;\frac{2{,}5}{\sqrt{7{,}25}}\,T_A \;+\;\frac{2{,}5}{\sqrt{8{,}5}}\,T_C \;=\;5,
para as três incógnitas T_A,T_B,T_C.

Passo 7

Concluímos que o sistema é hiperestático (estaticamente indeterminado) – não há equações de equilíbrio suficientes para determinar unicamente as três tensões. A única coisa que podemos afirmar é
T_A=T_B, \quad 2\frac{2{,}5}{\sqrt{7{,}25}}\,T_A+\frac{2{,}5}{\sqrt{8{,}5}}\,T_C=5\quad(\text{kN}).

Resposta

O sistema é estaticamente indeterminado. As únicas relações que se obtêm por equilíbrio são
T_A=T_B, \quad 2\,\frac{2{,}5}{\sqrt{7{,}25}}\,T_A+\frac{2{,}5}{\sqrt{8{,}5}}\,T_C=5\quad\text{kN},
não sendo possível determinar valores únicos para T_A,T_B,T_C sem informações adicionais (por exemplo, rigidez dos cabos ou compatibilidade de deformações).

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