A componente radial de velocidade em um escoamento bidimensional incompressível (
) é dada por:
Determine a componente tangencial de velocidade requerida para satisfazer a conservação de massa.
Passo 1
O enunciado dá a componente radial da velocidade em coordenadas polares (escoamento bidimensional, incompressível, com
):
Pede-se a componente tangencial
que satisfaça a conservação de massa (continuidade).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A velocidade tem duas componentes no plano:
e . - O escoamento é incompressível e bidimensional (
), logo a equação da continuidade deve ser satisfeita ponto a ponto.
Passo 2
Escrevendo a equação da continuidade em coordenadas polares (para campo bidimensional
):
Explicação desta fórmula (passo a passo):
-
é a conservação de massa para fluido incompressível. - Em coordenadas polares a divergência do campo
é dada por . - Cada termo tem significado claro:
representa a contribuição radial (considerando a variação da área de anéis), e a contribuição angular.
Passo 3
Calcular
usando o
dado:
Derivando em relação a
:
Calculemos cada parcela:
portanto
Passo 4
Substituir na equação da continuidade e isolar
:
A equação da continuidade dá, multiplicando por ,
A equação da continuidade dá, multiplicando por
Logo
Passo 5
Integrar em
para obter
. Integramos termo a termo:
Como
é tratada como constante na integração em
,
pois
. Acrescenta-se uma função arbitrária de integração que depende só de
, denotada por
. Assim:
Passo 6
Interpretação física e condição de single-valuedness (unicidade) em
.
Uma componente angular de velocidade física deve ser função periódica de com período
, isto é,
Uma componente angular de velocidade física deve ser função periódica de
Aplicando essa condição ao resultado encontrado:
Como
, os termos com
e
se cancelam, restando
o que implicaria
. Assim, para qualquer
não há como escolher
para eliminar o termo linear em
. Portanto:
- A solução geral da equação da continuidade é
- Mas esta solução NÃO é periódica em
(não é single‑valued) por causa do termo . Conclusão física: o dado não é compatível com um campo de velocidade incompressível bem‑comportado e periódica em no domínio inteiro ao redor do eixo; ou seja, não existe uma global, contínua e -periódica que satisfaça a continuidade para o fornecido (exceto trivialmente em ou em domínios que não envolvam um circuito completo em ).
Resposta
onde
é uma função arbitrária de
.