A componente radial de velocidade em um escoamento bidimensional incompressível ( v_{z}=0 ) é dada por:
v_{r}=2 r+3 r^{2} \operatorname{sen} \theta
Determine a componente tangencial de velocidade requerida para satisfazer a conservação de massa.

Passo 1

O enunciado dá a componente radial da velocidade em coordenadas polares (escoamento bidimensional, incompressível, com v_{z}=0):
v_{r}=2 r+3 r^{2}\sin\theta.
Pede-se a componente tangencial v_{\theta}(r,\theta) que satisfaça a conservação de massa (continuidade).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A velocidade tem duas componentes no plano: v_{r}(r,\theta) e v_{\theta}(r,\theta).
  • O escoamento é incompressível e bidimensional ( v_{z}=0), logo a equação da continuidade deve ser satisfeita ponto a ponto.

Passo 2

Escrevendo a equação da continuidade em coordenadas polares (para campo bidimensional v=(v_{r},v_{\theta})):
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,v_{r}\bigr)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}=0.
Explicação desta fórmula (passo a passo):
  • \nabla\cdot \mathbf{v}=0 é a conservação de massa para fluido incompressível.
  • Em coordenadas polares a divergência do campo \mathbf{v}=(v_{r},v_{\theta}) é dada por \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}(r v_{r})+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}.
  • Cada termo tem significado claro: \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}(r v_{r}) representa a contribuição radial (considerando a variação da área de anéis), e \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta} a contribuição angular.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,v_{r}\bigr) usando o v_{r} dado:
r\,v_{r}=r\bigl(2r+3r^{2}\sin\theta\bigr)=2r^{2}+3r^{3}\sin\theta.
Derivando em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,v_{r}\bigr)=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(2r^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial r}\bigl(3r^{3}\sin\theta\bigr).
Calculemos cada parcela:
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(2r^{2}\bigr)=4r, \qquad \frac{\partial}{\partial r}\bigl(3r^{3}\sin\theta\bigr)=9r^{2}\sin\theta,
portanto
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,v_{r}\bigr)=4r+9r^{2}\sin\theta.

Passo 4

Substituir na equação da continuidade e isolar \dfrac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}:
A equação da continuidade dá, multiplicando por r,
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,v_{r}\bigr)+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}=0.
Logo
\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}=-\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,v_{r}\bigr)=-\bigl(4r+9r^{2}\sin\theta\bigr).

Passo 5

Integrar em \theta para obter v_{\theta}(r,\theta). Integramos termo a termo:
v_{\theta}(r,\theta)=\int -\bigl(4r+9r^{2}\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Como r é tratada como constante na integração em \theta,
\int -4r\,d\theta=-4r\theta, \qquad \int -9r^{2}\sin\theta\,d\theta=9r^{2}\cos\theta,
pois \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta. Acrescenta-se uma função arbitrária de integração que depende só de r, denotada por F(r). Assim:
v_{\theta}(r,\theta)=-4r\theta+9r^{2}\cos\theta+F(r).

Passo 6

Interpretação física e condição de single-valuedness (unicidade) em \theta.
Uma componente angular de velocidade física deve ser função periódica de \theta com período 2\pi, isto é,
v_{\theta}(r,\theta+2\pi)=v_{\theta}(r,\theta).
Aplicando essa condição ao resultado encontrado:
-4r(\theta+2\pi)+9r^{2}\cos(\theta+2\pi)+F(r) \stackrel{!}{=}-4r\theta+9r^{2}\cos\theta+F(r).
Como \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta, os termos com \cos e F(r) se cancelam, restando
-8\pi r=0,
o que implicaria r=0. Assim, para qualquer r>0 não há como escolher F(r) para eliminar o termo linear em \theta. Portanto:
  • A solução geral da equação da continuidade é
v_{\theta}(r,\theta)=-4r\theta+9r^{2}\cos\theta+F(r).
  • Mas esta solução NÃO é periódica em \theta (não é single‑valued) por causa do termo -4r\theta. Conclusão física: o v_{r} dado não é compatível com um campo de velocidade incompressível bem‑comportado e periódica em \theta no domínio inteiro ao redor do eixo; ou seja, não existe uma v_{\theta}(r,\theta) global, contínua e 2\pi-periódica que satisfaça a continuidade para o v_{r} fornecido (exceto trivialmente em r=0 ou em domínios que não envolvam um circuito completo em \theta).

Resposta

v_{\theta}(r,\theta)=-4r\theta+9r^{2}\cos\theta+F(r),
onde F(r) é uma função arbitrária de r.

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