Calcular os limites seguintes:
\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow 2}} \frac{x^{3}-x^{2} y}{x^{2}-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) se aproxima de (2,2) da função
\frac{x^{3}-x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função de duas variáveis x e y.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(2,2).
    O objetivo é calcular
\lim_{\substack{x\to 2\\\ y\to 2}} \frac{x^{3}-x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão. No numerador:
x^{3}-x^{2}y = x^{2}(x-y).
No denominador use a fatoração da diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).

Passo 3

Substituindo as fatorações na fração obtemos, para os pontos em que x-y\neq 0,
\frac{x^{3}-x^{2}y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{x^{2}(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^{2}}{x+y}.
Observação importante: a simplificação exige x-y\neq 0 (não se pode cancelar quando x=y). Também precisamos que x+y\neq 0 para não dividir por zero. No entanto, no ponto em que queremos o limite, (2,2), tem-se 2+2\neq 0, então perto de (2,2) o denominador x+y permanece diferente de zero.

Passo 4

A função simplificada
g(x,y)=\frac{x^{2}}{x+y}
é bem definida e contínua em uma vizinhança de (2,2) (porque x+y não se anula ali). Como a expressão original coincide com g(x,y) para todos os pontos próximos a (2,2) com x\neq y, o limite da função original quando (x,y)\to(2,2) (pela região em que a função está definida) é o mesmo que o limite de g(x,y).

Passo 5

Pela continuidade de g em (2,2), podemos avaliar o limite substituindo diretamente:
\lim_{\substack{x\to 2\\\ y\to 2}} \frac{x^{2}}{x+y} = \frac{2^{2}}{2+2} = \frac{4}{4} = 1.
Isso mostra que, independentemente da forma como (x,y) se aproxima de (2,2) (com x\neq y suficientemente próximo), o valor da expressão tende a 1.

Passo 6

Comentário final e encorajamento: embora a função original esteja indefinida na linha x=y (pois dá 0/0 ali), a simplificação algébrica revela uma função contínua em torno de (2,2). Por isso o limite existe e é unívoco. Boa — você já sabe o truque principal para muitos limites de duas variáveis: fatorar e simplificar, depois usar a continuidade.

Resposta

1

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