Calcular os limites seguintes:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
se aproxima de
da função
Informações dadas:
- A expressão é uma função de duas variáveis
e . - O ponto de interesse é
.
O objetivo é calcular
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão. No numerador:
No denominador use a fatoração da diferença de quadrados:
Passo 3
Substituindo as fatorações na fração obtemos, para os pontos em que
,
Observação importante: a simplificação exige
(não se pode cancelar quando
). Também precisamos que
para não dividir por zero. No entanto, no ponto em que queremos o limite,
, tem-se
, então perto de
o denominador
permanece diferente de zero.
Passo 4
A função simplificada
é bem definida e contínua em uma vizinhança de
(porque
não se anula ali). Como a expressão original coincide com
para todos os pontos próximos a
com
, o limite da função original quando
(pela região em que a função está definida) é o mesmo que o limite de
.
Passo 5
Pela continuidade de
em
, podemos avaliar o limite substituindo diretamente:
Isso mostra que, independentemente da forma como
se aproxima de
(com
suficientemente próximo), o valor da expressão tende a
.
Passo 6
Comentário final e encorajamento: embora a função original esteja indefinida na linha
(pois dá
ali), a simplificação algébrica revela uma função contínua em torno de
. Por isso o limite existe e é unívoco. Boa — você já sabe o truque principal para muitos limites de duas variáveis: fatorar e simplificar, depois usar a continuidade.