Para certo escoamento incompressível e bidimensional, a componente de velocidade na direção y é dada por
v=3 x y-x^{2} y
Determine a componente de velocidade na direção x de forma que a equação da continuidade seja satisfeita.

Passo 1

O enunciado dá a componente de velocidade na direção y:
v = 3 x y - x^{2} y
e pede para determinar a componente de velocidade na direção x de modo que a equação da continuidade para escoamento incompressível e bidimensional seja satisfeita.
Informações relevantes do enunciado:
  • O escoamento é incompressível e bidimensional.
  • A função v(x,y) está explicitada acima.
  • Deve-se encontrar u(x,y) (a componente de velocidade na direção x) tal que a condição de continuidade seja satisfeita.
    Não há condições de contorno fornecidas, então soluções com constantes de integração dependentes de y são possíveis.

Passo 2

Relembrando a equação que impõe a incompressibilidade em 2D: a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Em notação de derivadas parciais, isso é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Aqui:
  • u(x,y) é a componente de velocidade na direção x (o que queremos encontrar);
  • v(x,y) é a componente de velocidade na direção y (fornecida);
  • \partial/\partial x e \partial/\partial y são derivadas parciais: ao derivar por x tratamos y como constante, e vice-versa.
Para usar essa equação precisamos calcular \partial v/\partial y. Vamos calcular isso explicitamente a partir da v dada:
v(x,y)=3xy-x^{2}y.
Derivando em relação a y (tratando x como constante) obtemos:
\frac{\partial v}{\partial y}=3x - x^{2}.
Expliquei passo a passo: cada termo em v é da forma (função de x) vezes y, então a derivada em y apenas remove o y multiplicativo.

Passo 3

Agora aplique a equação da continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo o resultado do passo anterior:
\frac{\partial u}{\partial x} = -(3x - x^{2}) = -3x + x^{2}.
Esta é uma equação para a derivada parcial de u em relação a x. Para obter u(x,y) integramos em relação a x, lembrando que a “constante” de integração pode ser, no caso de integrais parciais, uma função arbitrária de y (porque ao derivar em x qualquer função que dependa só de y desaparece). Então:
u(x,y) = \int \big(-3x + x^{2}\big)\,dx = -\frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} + C(y),
onde C(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração no sentido de integração parcial).

Passo 4

Vamos checar que essa expressão satisfaz a continuidade. Diferenciando a solução encontrada em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x} = -3x + x^{2} + \underbrace{\frac{dC}{dx}}_{=0} = -3x + x^{2}.
Somando com \partial v/\partial y = 3x - x^{2} obtemos
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = (-3x + x^{2}) + (3x - x^{2}) = 0,
como exigido. Logo a forma encontrada de u é correta.
Observação final e motivação física: sem condição de contorno adicional (por exemplo valor de u em uma parede ou em x=0), C(y) permanece livre. Em muitos problemas práticos pode-se fixar C(y) com uma condição como u(0,y)=0, que implicaria C(y)=0.

Resposta

u(x,y) = -\frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} + C(y)

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