Para certo escoamento incompressível e bidimensional, a componente de velocidade na direção y é dada por
v=3 x y-x^{2} y
Determine a componente de velocidade na direção x de forma que a equação da continuidade seja satisfeita.
Passo 1
O enunciado dá a componente de velocidade na direção y:
v = 3 x y - x^{2} y
e pede para determinar a componente de velocidade na direção x de modo que a equação da continuidade para escoamento incompressível e bidimensional seja satisfeita.
Informações relevantes do enunciado:
O escoamento é incompressível e bidimensional.
A função v(x,y) está explicitada acima.
Deve-se encontrar u(x,y) (a componente de velocidade na direção x) tal que a condição de continuidade seja satisfeita.
Não há condições de contorno fornecidas, então soluções com constantes de integração dependentes de y são possíveis.
Passo 2
Relembrando a equação que impõe a incompressibilidade em 2D: a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Em notação de derivadas parciais, isso é
Esta é uma equação para a derivada parcial de u em relação a x. Para obter u(x,y) integramos em relação a x, lembrando que a “constante” de integração pode ser, no caso de integrais parciais, uma função arbitrária de y (porque ao derivar em x qualquer função que dependa só de y desaparece). Então:
como exigido. Logo a forma encontrada de u é correta.
Observação final e motivação física: sem condição de contorno adicional (por exemplo valor de u em uma parede ou em x=0), C(y) permanece livre. Em muitos problemas práticos pode-se fixar C(y) com uma condição como u(0,y)=0, que implicaria C(y)=0.