- A componente
da velocidade em uma camada-limite laminar na água (
) é aproximada por
, em que
e
. A componente
da velocidade é muito menor do que
.
Obtenha uma expressão para a força de cisalhamento resultante, na direção
, que atua sobre um elemento fluido por unidade de volume. Calcule o seu valor máximo para esse escoamento.
Passo 1
Vou listar, com calma, o que o enunciado dá e o que pede (sem ainda resolver nada).
-
Dados fornecidos:
- A componente
da velocidade é
-
. -
. - A componente
da velocidade é muito menor que (logo podemos desprezá-la quando considerarmos forças viscosas dominadas por variações em ). - A água está a
(usarei o valor padrão da viscosidade dinâmica dessa água abaixo).
- A componente
-
O enunciado pede:
- Obter uma expressão para a força de cisalhamento resultante, na direção
, que atua sobre um elemento fluido por unidade de volume (isto é, , força por unidade de volume). - Calcular o valor máximo dessa força para o escoamento dado.
- Obter uma expressão para a força de cisalhamento resultante, na direção
Passo 2
Qual é a relação fundamental que liga velocidade e força viscosa? Para um fluido newtoniano (como água à temperatura ambiente) a tensão de cisalhamento (componente de tensão) é proporcional ao gradiente de velocidade. Em notação simples:
onde
-
é a tensão de cisalhamento (unidade: ), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade: ), -
é a componente da velocidade, -
é a coordenada na direção normal à parede (onde há variação de ).
Explicação física curta e intuitiva:
representa a força por unidade de área que as camadas adjacentes do fluido exercem uma sobre a outra devido à variação de
com
.
Passo 3
Agora: força por unidade de volume na direção
causada pela variação da tensão de cisalhamento é dada pela derivada espacial dessa tensão:
Substituindo
(e assumindo
constante em
) obtemos
Isto faz sentido: se a tensão varia com
há um somatório de forças sobre o volume que resulta numa força volumétrica (unidade:
).
Passo 4
Calculemos
e
a partir de
Primeira derivada (cadeia):
Segunda derivada (derivando novamente, usando que
e aplicando a cadeia outra vez):
Simplificando o fator:
então
Passo 5
Substituindo na expressão da força por unidade de volume
, obtemos a expressão final analítica:
Observações didáticas:
- O sinal negativo indica que a força viscosa volumétrica no sentido
é oposta ao sinal de . Se é positiva (sin positivo), a força volumétrica viscosa aponta no sentido negativo de : a viscosidade tende a retardar o movimento. - Unidade de
: (força por volume).
Passo 6
Agora vamos calcular o valor máximo (em magnitude) de
para o escoamento.
- O fator trigonométrico
tem módulo máximo . Logo o valor máximo em magnitude é
- Precisamos do valor de
para água a . Vou usar o valor padrão:
- Substituindo números:
Calcule o fator numérico passo a passo:
Multiplicando por
:
Valor numérico mais preciso (com os números usados) é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Também é útil indicar o
onde isso ocorre: o seno atinge
quando
, isto é
. Nesse ponto
(força direcionada negativamente). O módulo máximo ocorre em
.