1. A componente x da velocidade em uma camada-limite laminar na água ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) é aproximada por u=U \operatorname{sen}(\pi y / 2 \delta), em que U=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \delta=2,0 \mathrm{~mm}. A componente y da velocidade é muito menor do que u.
Obtenha uma expressão para a força de cisalhamento resultante, na direção x, que atua sobre um elemento fluido por unidade de volume. Calcule o seu valor máximo para esse escoamento.

Passo 1

Vou listar, com calma, o que o enunciado dá e o que pede (sem ainda resolver nada).
  • Dados fornecidos:
    • A componente x da velocidade é
    u(y)=U\sin\!\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right).
    • U=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • \delta=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • A componente y da velocidade é muito menor que u (logo podemos desprezá-la quando considerarmos forças viscosas dominadas por variações em y).
    • A água está a 20^\circ\mathrm{C} (usarei o valor padrão da viscosidade dinâmica dessa água abaixo).
  • O enunciado pede:
    1. Obter uma expressão para a força de cisalhamento resultante, na direção x, que atua sobre um elemento fluido por unidade de volume (isto é, f_x(y), força por unidade de volume).
    2. Calcular o valor máximo dessa força para o escoamento dado.

Passo 2

Qual é a relação fundamental que liga velocidade e força viscosa? Para um fluido newtoniano (como água à temperatura ambiente) a tensão de cisalhamento (componente de tensão) é proporcional ao gradiente de velocidade. Em notação simples:
\tau_{xy} = \mu \frac{\partial u}{\partial y},
onde
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento (unidade: \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m}^2),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade: \mathrm{Pa\cdot s}),
  • u é a componente x da velocidade,
  • y é a coordenada na direção normal à parede (onde há variação de u).
Explicação física curta e intuitiva: \tau_{xy} representa a força por unidade de área que as camadas adjacentes do fluido exercem uma sobre a outra devido à variação de u com y.

Passo 3

Agora: força por unidade de volume na direção x causada pela variação da tensão de cisalhamento é dada pela derivada espacial dessa tensão:
f_x = \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}.
Substituindo \tau_{xy}=\mu\,\partial u/\partial y (e assumindo \mu constante em y) obtemos
f_x = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
Isto faz sentido: se a tensão varia com y há um somatório de forças sobre o volume que resulta numa força volumétrica (unidade: \mathrm{N/m^3}).

Passo 4

Calculemos \partial u/\partial y e \partial^2 u/\partial y^2 a partir de
u(y)=U\sin\!\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right).
Primeira derivada (cadeia):
\frac{\partial u}{\partial y} = U\cdot \cos\!\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right)\cdot \frac{\pi}{2\delta}.
Segunda derivada (derivando novamente, usando que \dfrac{d}{dy}\cos(\cdot)=-\sin(\cdot) e aplicando a cadeia outra vez):
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = U\cdot \left(-\sin\!\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right)\right)\cdot\left(\frac{\pi}{2\delta}\right)^2.
Simplificando o fator:
\left(\frac{\pi}{2\delta}\right)^2 = \frac{\pi^2}{4\delta^2},
então
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = - U\,\frac{\pi^2}{4\delta^2}\,\sin\!\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right).

Passo 5

Substituindo na expressão da força por unidade de volume f_x=\mu\,\partial^2 u/\partial y^2, obtemos a expressão final analítica:
f_x(y) = -\mu\,\frac{\pi^2}{4\delta^2}\;U\;\sin\!\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right).
Observações didáticas:
  • O sinal negativo indica que a força viscosa volumétrica no sentido x é oposta ao sinal de \sin(\pi y/(2\delta)). Se u é positiva (sin positivo), a força volumétrica viscosa aponta no sentido negativo de x: a viscosidade tende a retardar o movimento.
  • Unidade de f_x: \mathrm{Pa/m} = \mathrm{N/m^3} (força por volume).

Passo 6

Agora vamos calcular o valor máximo (em magnitude) de f_x para o escoamento.
  • O fator trigonométrico \sin(\pi y/(2\delta)) tem módulo máximo 1. Logo o valor máximo em magnitude é
|f_{x,\max}| = \mu\,\frac{\pi^2}{4\delta^2}\;U.
  • Precisamos do valor de \mu para água a 20^\circ\mathrm{C}. Vou usar o valor padrão:
\mu \approx 1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Substituindo números:
\delta = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad U=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Calcule o fator numérico passo a passo:
\frac{\pi^2}{4\delta^2} = \frac{\pi^2}{4(2{,}0\times10^{-3})^2} = \frac{\pi^2}{1{,}6\times10^{-5}} \approx 6{,}16850\times10^{5}\\ \mathrm{m^{-2}}.
Multiplicando por \mu U:
|f_{x,\max}| = (1{,}002\times10^{-3})\times 3{,}0 \times 6{,}16850\times10^{5} \approx 1{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m^{-3}}.
Valor numérico mais preciso (com os números usados) é aproximadamente 1{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m^{-3}}, ou seja cerca de 1854\\ \mathrm{N/m^3}.
Também é útil indicar o y onde isso ocorre: o seno atinge +1 quando \dfrac{\pi y}{2\delta}=\dfrac{\pi}{2}, isto é y=\delta. Nesse ponto f_x(\delta)=-|f_{x,\max}| (força direcionada negativamente). O módulo máximo ocorre em y=\delta.

Resposta

f_x(y) = -\mu\,\dfrac{\pi^2}{4\delta^2}\;U\;\sin\!\left(\dfrac{\pi y}{2\delta}\right)
|f_{x,\max}| = \mu\,\dfrac{\pi^2}{4\delta^2}\;U \approx 1{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{N\,m^{-3}}

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