1. Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(a) u=2 x^{2}+y^{2}-x^{2} y ; v=x^{3}+x\left(y^{2}-4 y\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional u e v e pergunta se ele representa um possível escoamento bidimensional incompressível. As informações fornecidas são:
  • u = 2 x^{2} + y^{2} - x^{2} y
  • v = x^{3} + x\bigl(y^{2} - 4y\bigr)
A pergunta a responder é: esse par (u,v) satisfaz a condição de incompressibilidade em 2D?

Passo 2

O que significa “incompressível” em 2D (explicação didática)?
  • Para um escoamento bidimensional da velocidade (u(x,y),v(x,y)), a condição de incompressibilidade (conservação de massa para fluido incompressível) é que a divergência do campo de velocidades seja nula.
  • Matematicamente essa condição é a equação da continuidade em 2D:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
  • Então, para verificar se o campo dado é incompressível, basta calcular as derivadas parciais \partial u/\partial x e \partial v/\partial y e somá-las.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. Deriva termo a termo:
  • Derivada de \,2 x^{2} em relação a x é \,4x.
  • Derivada de \,y^{2} em relação a x é 0 (porque y é tratado como constante ao derivar em x).
  • Derivada de -x^{2}y em relação a x é -2x y (produto: y é constante).
    Portanto
\frac{\partial u}{\partial x} = 4x - 2 x y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial v}{\partial y}. Primeiro reescrever v para ver os termos:
v = x^{3} + x y^{2} - 4 x y.
Deriva termo a termo em relação a y:
  • Derivada de x^{3} em relação a y é 0.
  • Derivada de x y^{2} em relação a y é 2 x y (porque x é constante aqui).
  • Derivada de -4 x y em relação a y é -4 x.
    Portanto
\frac{\partial v}{\partial y} = 2 x y - 4 x.

Passo 5

Somar as derivadas para verificar a continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = (4x - 2 x y) + (2 x y - 4 x).
Agrupando termos semelhantes nota-se que -2xy cancela com +2xy e 4x cancela com -4x. Logo
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Como a divergência é identicamente zero em todo domínio (os termos polinomiais se cancelam exatamente), a condição de incompressibilidade é satisfeita.

Passo 6

Comentário extra (útil para prova): existência de função corrente (stream function).
  • Para um campo bidimensional incompressível existe uma função corrente \psi(x,y) tal que, numa convenção comum,
u = \frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.
  • Podemos construir \psi integrando \,u em relação a y e ajustando uma função de x (constante de integração):
\psi(x,y) = \int u\,dy = \int \bigl(2 x^{2} + y^{2} - x^{2} y\bigr)\,dy = 2 x^{2} y + \frac{1}{3}y^{3} - \frac{1}{2}x^{2}y^{2} + g(x),
onde g(x) é função arbitrária de x.
  • Agora impondo v = -\partial \psi/\partial x:
\frac{\partial \psi}{\partial x} = 4 x y - x y^{2} + g'(x),
-\frac{\partial \psi}{\partial x} = -4 x y + x y^{2} - g'(x).
Comparando com o v dado, que é v = x^{3} + x y^{2} - 4 x y, obtemos
- g'(x) = x^{3}\quad\Rightarrow\quad g'(x) = -x^{3}.
Integrando,
g(x) = -\frac{x^{4}}{4} + C,
com C constante arbitrária. Portanto uma função corrente que gera o campo é
\psi(x,y) = 2 x^{2} y + \frac{1}{3}y^{3} - \frac{1}{2}x^{2}y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C.
  • Observação final: a existência desta \psi confirma de outra maneira que o campo é admissível como escoamento incompressível.

Resposta

Sim — representa um escoamento bidimensional incompressível.

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