- Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(a)
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
e
e pergunta se ele representa um possível escoamento bidimensional incompressível. As informações fornecidas são:
A pergunta a responder é: esse par
satisfaz a condição de incompressibilidade em 2D?
Passo 2
O que significa “incompressível” em 2D (explicação didática)?
- Para um escoamento bidimensional da velocidade
, a condição de incompressibilidade (conservação de massa para fluido incompressível) é que a divergência do campo de velocidades seja nula. - Matematicamente essa condição é a equação da continuidade em 2D:
- Então, para verificar se o campo dado é incompressível, basta calcular as derivadas parciais
e e somá-las.
Passo 3
Calcular
. Deriva termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (porque é tratado como constante ao derivar em ). - Derivada de
em relação a é (produto: é constante).
Portanto
Passo 4
Calcular
. Primeiro reescrever
para ver os termos:
Deriva termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (porque é constante aqui). - Derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 5
Somar as derivadas para verificar a continuidade:
Agrupando termos semelhantes nota-se que
cancela com
e
cancela com
. Logo
Como a divergência é identicamente zero em todo domínio (os termos polinomiais se cancelam exatamente), a condição de incompressibilidade é satisfeita.
Passo 6
Comentário extra (útil para prova): existência de função corrente (stream function).
- Para um campo bidimensional incompressível existe uma função corrente
tal que, numa convenção comum,
- Podemos construir
integrando em relação a e ajustando uma função de (constante de integração):
onde
é função arbitrária de
.
- Agora impondo
:
Comparando com o
dado, que é
, obtemos
Integrando,
com
constante arbitrária. Portanto uma função corrente que gera o campo é
- Observação final: a existência desta
confirma de outra maneira que o campo é admissível como escoamento incompressível.
Resposta
Sim — representa um escoamento bidimensional incompressível.