1. Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(b) u=2 x y-x^{2} y ; v=2 x y-y^{2}+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede para verificar se ele pode representar um escoamento incompressível. As informações fornecidas são:
u(x,y)=2xy-x^{2}y, \qquad v(x,y)=2xy-y^{2}+x^{2}.
A pergunta é: esse par (u,v) satisfaz a condição de incompressibilidade em toda a região (ou seja, é um caso possível de escoamento bidimensional incompressível)?

Passo 2

O que significa “incompressível” em 2D (no contexto usual de escoamentos)? Significa que a divergência do campo de velocidade é nula em todo ponto do domínio. A divergência é definida por
\nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui \partial u/\partial x é a derivada parcial de u em relação a x (tratando y como constante) e \partial v/\partial y é a derivada parcial de v em relação a y (tratando x como constante). Para ser incompressível, essa soma tem que ser zero para todo (x,y).

Passo 3

Calcular \partial u/\partial x passo a passo.
u(x,y)=2xy-x^{2}y.
Derivando termo a termo em relação a x:
  • \partial(2xy)/\partial x = 2y (pois y é tratado como constante),
  • \partial(x^{2}y)/\partial x = 2x\,y.
    Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=2y-2xy.

Passo 4

Calcular \partial v/\partial y passo a passo.
v(x,y)=2xy-y^{2}+x^{2}.
Derivando termo a termo em relação a y:
  • \partial(2xy)/\partial y = 2x,
  • \partial(-y^{2})/\partial y = -2y,
  • \partial(x^{2})/\partial y = 0 (pois x é tratado como constante).
    Portanto
\frac{\partial v}{\partial y}=2x-2y.

Passo 5

Agora somamos as derivadas para obter a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =(2y-2xy)+(2x-2y).
Simplificando os termos semelhantes:
\nabla\cdot\mathbf{u}=2x-2xy=2x(1-y).

Passo 6

Interpretação: para que o escoamento seja incompressível é necessário que \nabla\cdot\mathbf{u}=0 para todo (x,y). Aqui encontramos \nabla\cdot\mathbf{u}=2x(1-y), que não é identicamente zero — é zero apenas em pontos onde x=0 ou y=1, mas não em toda a região. Logo o campo não satisfaz a condição de incompressibilidade globalmente, portanto NÃO representa um escoamento bidimensional incompressível.

Resposta

Não; \nabla\cdot\mathbf{u}=2x(1-y)\not\equiv0.

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