- Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(b)
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede para verificar se ele pode representar um escoamento incompressível. As informações fornecidas são:
A pergunta é: esse par
satisfaz a condição de incompressibilidade em toda a região (ou seja, é um caso possível de escoamento bidimensional incompressível)?
Passo 2
O que significa “incompressível” em 2D (no contexto usual de escoamentos)? Significa que a divergência do campo de velocidade é nula em todo ponto do domínio. A divergência é definida por
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante). Para ser incompressível, essa soma tem que ser zero para todo
.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
(pois é tratado como constante), -
.
Portanto
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
, -
, -
(pois é tratado como constante).
Portanto
Passo 5
Agora somamos as derivadas para obter a divergência:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Interpretação: para que o escoamento seja incompressível é necessário que
para todo
. Aqui encontramos
, que não é identicamente zero — é zero apenas em pontos onde
ou
, mas não em toda a região. Logo o campo não satisfaz a condição de incompressibilidade globalmente, portanto NÃO representa um escoamento bidimensional incompressível.
Resposta
Não;
.