O componente z da densidade de corrente é J0 e^-az /[(x^2+1)(y^2+1)]. Determine a corrente na direção az, que atravessa a superfície: (a) z=0,|x| <= 1,|y| <= 1; (b) z=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a componente z da densidade de corrente é
Jz(x,y,z);=;J0,e^-a z(x^2+1)(y^2+1)
A gente quer a corrente total (direção I=integral duplaS Jcdot d A e integraldxx^2+1=arctan x ) que atravessa duas superfícies em :
(a) um retângulo ,
(b) o plano inteiro .
Matéria envolvida: densidade de corrente, fluxo de um campo vetorial e integração dupla. Vamos precisar usar

Passo 2

Primeiro lembre: para a superfície d A=d x,d y; az, plana, o vetor área é
Jcdot d A =Jz(x,y,0);dx,dy
então
Jz(x,y,0) =J0(x^2+1)(y^2+1)
Como , , logo o integrando fica
Agora é montar a integral dupla para (a) e (b).

Passo 3

Caso (a): retângulo Ia = integralx=-1^1!integraly=-1^1J0(x^2+1)(y^2+1),dy,dx = J0 l[integral-1^1dxx^2+1r] l[integral-1^1dyy^2+1r] .
Ia = J0;l(pi2r);l(pi2r) = J0,pi^24
Cada integral é

Logo

Passo 4

Caso (b): agora o plano inteiro, Ib = J0 l[integral-infty^inftydxx^2+1r] l[integral-infty^inftydyy^2+1r] =J0;(pi);(pi) =J0,pi^2, .
pois

Resposta

(a)
(b)

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