Uma superfície, em z=0, é um catodo do qual são emitidos elétrons com velocidade inicial nula. Eles sofrem a ação de um campo elétrico E=-2 times 10^6 az V / m. Sabendo-se que e=1,602 times 10^-19 C e m=9,11 times 10^-31 kg, determine: (a) velocidade v(t) para um elétron emitido em t=0 ; (b) z(t) ; © v(z) (d) Se os elétrons deixam o catodo continuamente, segundo um feixe de 100 mu C de corrente e com uma seção reta de 10^-7 m^2, determine a densidade de corrente e a densidade volumétrica de carga.

Passo 1

Beleza, aqui o esquema: a gente tem elétrons saindo de uma superfície em com , e eles sofrem um campo elétrico uniforme

Conteúdo: cinemática de partícula com força constante (força elétrica) e integração pra achar velocidade e posição; depois, no fim, usamos definições de densidade de corrente e carga.
O que vamos precisar:
  • Força elétrica e aceleração .
  • Integração de pra obter e .
  • Relação entre corrente, área e densidade de corrente .
  • Relação entre densidade de corrente e densidade volumétrica de carga via .

Passo 2

Primeiro, a força elétrica sobre o elétron:
F = qE = (-e)l(-2times10^6,azr) = +2times10^6,e;az
Como F = 2times10^6 times 1,602times10^-19 approx 3,204times10^-13, N;az , isso dá
a = 3,204times10^-139,11times10^-31 approx 3,52times10^17,m/s^2 no sentido +!z
A aceleração é , com :

Passo 3

Como a aceleração é constante e a velocidade inicial é zero,
v(t) = a,t
Substituindo boxedv(t) = l(3,52times10^17r),t(m/s) :

Passo 4

Para achar a posição z(t) = integral0^t v(t'),dt' = integral0^t a,t',dt' = tfrac12,a,t^2 , integramos de novo boxedz(t) = tfrac12,(3,52times10^17),t^2 (m) :
Logo

Passo 5

Agora t = raiz2,za, em função de v(z) = a,t = a,raiz2,za = raiz2,a,z = raiz2,e,|E|,zm : da expressão de boxedv(z) = raiz2,e,(2times10^6)m;z (m/s) a gente isola :
então
Ficando

Passo 6

Eles mandam um feixe que corresponde a uma corrente de J = IA = 1times10^-41times10^-7 = 1times10^3;A/m^2 (ou seja boxedJ = 1,0times10^3;A/m^2 ) passando por seção .
A densidade de corrente é

Passo 7

Por fim, a densidade volumétrica de carga J = rho,v Longrightarrow rho = Jv no feixe satisfaz
boxedrho(z) = Jraiz2,e,|E|,z/m (C/m^3)
Como varia com , também varia. Em função de :

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados