Um pedaço de material condutor para o qual sigma=5 M S / m tem a forma de uma cunha truncada, 4. No interior do material E=2 aphi / rho mV / m. (a) Qual é a corrente total que atravessa o objeto? (b) Qual é a sua resistência?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um pedaço de material condutor com condutividade
4 cm < rho < 10 cm, 0 < phi < 0,2pi, 0 < z < 6 cm
no formato de uma cunha truncada em coordenadas cilíndricas:
vec E = 2rho,vec aphi l[mV/mr]
Dentro dele, o campo elétrico vale
O que a gente precisa:
• (a) A corrente total que atravessa o objeto.
• (b) A resistência equivalente.
Para isso vamos usar:
  1. Lei de Ohm local: .
  2. Definição de corrente: .
  3. Diferença de potencial a partir de .

Passo 2

Primeiro vamos achar a densidade de corrente vec J = sigma,vec E Longrightarrow Jphi = sigma,Ephi = 5times10^6,S m;times;2rho,mV/m .
Pela lei de Ohm local:
Jphi = 5times10^6cdot2cdot10^-3rho = 10,Arho[A/m^2]
Como ,

Passo 3

Agora a corrente total I = integral dupla Jphi,dS, que atravessa, por exemplo, a face dS = rho,drho,dz (entrando por I = integralz=0^0,06 !!integralrho=0,04^0,10 10rho;l(rho,drho,dzr) = 10 integral0^0,06!dz integral0,04^0,10!drho = 10 times 0,06 times (0,10 - 0,04) e saindo em I = 10 times 0,06 times 0,06 = 0,036 A = 36 mu A ), é
onde em cilíndricas o elemento de área dessa face é
Logo
Fazendo as contas (em metros):

Passo 4

Para a resistência, precisamos da diferença de potencial entre V = -integral0^0.2pi vec E!cdot!dvecell = -integral0^0.2pi 2rho,(rho,dphi) = -2integral0^0.2pi dphi = -2,(0.2pi) = -0,4pi mV e :
Em módulo é

Passo 5

A resistência é
R = |V|I = 0,4pitimes10^-30,036 approx 34,9 Omega

Resposta

(a)
(b)

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