Uma comporta curvada, com
de comprimento, está localizada na parede lateral de um tanque. Determine a intensidade e localização das componentes horizontal e vertical da força com que a água atua sobre a comporta.
Peso Espec. água
Passo 1
O enunciado (imagem) dá os seguintes dados (peguei os valores diretamente da figura):
- profundidade da água até a superfície livre:
; - raio do arco da comporta (distância marcada A na figura):
— a comporta é um arco de círculo que vai do piso até a parede (um quadrante de raio ); - comprimento (largura, na direção perpendicular ao plano da figura) da comporta:
(isto é a largura do portão, usada para obter volumes e forças totais); - peso específico da água:
O que pede o problema:
- determinar a intensidade (módulo) e a localização (ponto de aplicação) das componentes horizontal e vertical da força exercida pela água sobre a comporta.
Observação: uso a convenção usual — medida de profundidade
a partir da superfície livre para baixo; origem vertical no piso (assim posso também referir distância acima do piso).
Passo 2
Plano de resolução e conceitos básicos (aulas rápidas e intuitivas).
- Para uma superfície curva submersa, a resultante hidrostática
pode ser decomposta em uma componente horizontal e uma componente vertical . - Teoremas úteis:
- a componente horizontal
é igual à força resultante sobre a projeção vertical da superfície (ou seja, é igual à força que a água faria sobre a superfície plana vertical obtida projetando a comporta na parede). Essa força é obtida como para uma superfície plana vertical: , onde é a área da projeção vertical e é a profundidade do centróide dessa projeção. - a componente vertical
é igual ao peso do volume de fluido que está diretamente acima da superfície curva (teorema: força vertical = peso do fluido sobre a projeção horizontal da superfície). Em fórmula: , onde é o volume do fluido “sobre” a comporta (para calcular fazemos uma integração ou usamos geometria).
- a componente horizontal
- Localização:
-
age na linha de ação do resultado sobre a projeção vertical; para localizar verticalmente usa-se o centro de pressão para uma superfície plana vertical: , com momento de inércia da área da projeção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide. -
age ao longo da linha vertical que passa pelo centróide do volume do fluido acima da superfície curva; para saber onde na comporta essa vertical intercepta a comporta, encontramos a interseção entre essa vertical e a curvatura (coordenadas).
-
Agora aplicamos isso passo a passo com as contas.
Passo 3
Calcular a componente horizontal
.
- Primeiro determinar a projeção vertical da comporta: a comporta é um quadrante de raio
que vai do piso (altura ) até a parede na altura . A projeção vertical é, portanto, um retângulo de altura e largura igual ao comprimento (largura para fora do plano) . - Área da projeção vertical:
- Profundidade do centróide dessa projeção: o retângulo vai de profundidade
(topo da projeção: porque ponto de contato superior da comporta está a acima do piso, logo a abaixo da superfície livre) até (fundo). O centróide está no meio: - Então a componente horizontal:
Calcule:
Passo 4
Localização vertical da componente horizontal
(centro de pressão sobre a projeção vertical).
- Para o retângulo de altura
e largura , o momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa pelo centróide vale - A profundidade do centro de pressão (medida a partir da superfície livre) é
Substituindo: - Em relação ao piso (altura acima do piso) isto é:
- Resumo para
: - módulo:
; - atua na parede vertical à profundidade
abaixo da superfície livre (isto é a acima do piso).
- módulo:
Passo 5
Calcular a componente vertical
(peso do volume de água acima da comporta).
- Usamos o teorema:
, onde é o volume do fluido apoiado sobre a comporta. - Vamos calcular o volume por integração na seção transversal (por unidade de largura
na direção do comprimento) e depois multiplicar pela largura . - Considere a coordenada horizontal
medida a partir da parede para a esquerda; para o quadrante de raio (centro no canto), a fronteira da comporta é dada por . A altura de fluido acima do ponto projetado em é com (para ). Portanto a área da seção transversal do volume (por unidade de largura) é - Calcule as integrais separadamente:
e a integral da raiz é a área de um quadrante de círculo de raio : Logo - Volume total (multiplicando pela largura
): - A componente vertical:
Numérico:
Arredondando:
Passo 6
Localização (plano horizontal) da componente vertical
— encontro do eixo vertical de ação com a comporta.
- A linha de ação vertical de
passa pelo centróide do volume . Primeiro encontramos a coordenada (distância a partir da parede) do centróide do volume por unidade de largura: - Calcule as integrais:
e, com substituição padrão, Assim o numerador é . - Logo
- Esse
é a distância horizontal a partir da parede até a linha de ação vertical do peso do volume. A interseção dessa vertical com a comporta (arco de raio ) tem coordenada vertical dada por . Então - Em relação ao piso, a força vertical atua na comporta no ponto que está a
acima do piso (ou seja, a abaixo da superfície livre). - (Se desejar a posição ao longo do arco: o ângulo polarmédico relativo ao ponto de fundo é
e a distância ao longo do arco desde o ponto de fundo é .)