Uma comporta curvada, com 3,0 \mathrm{~m} de comprimento, está localizada na parede lateral de um tanque. Determine a intensidade e localização das componentes horizontal e vertical da força com que a água atua sobre a comporta.
Peso Espec. água =9.810 \mathrm{~N} / \mathrm{m} 3

Passo 1

O enunciado (imagem) dá os seguintes dados (peguei os valores diretamente da figura):
  • profundidade da água até a superfície livre: \,6{,}0\\ \mathrm{m};
  • raio do arco da comporta (distância marcada A na figura): \,2{,}0\\ \mathrm{m} — a comporta é um arco de círculo que vai do piso até a parede (um quadrante de raio 2{,}0\\ \mathrm{m});
  • comprimento (largura, na direção perpendicular ao plano da figura) da comporta: \,3{,}0\\ \mathrm{m} (isto é a largura do portão, usada para obter volumes e forças totais);
  • peso específico da água: \,\gamma=9{,}810\\ \mathrm{N/m^3}.
O que pede o problema:
  • determinar a intensidade (módulo) e a localização (ponto de aplicação) das componentes horizontal e vertical da força exercida pela água sobre a comporta.
Observação: uso a convenção usual — medida de profundidade h a partir da superfície livre para baixo; origem vertical no piso (assim posso também referir distância acima do piso).

Passo 2

Plano de resolução e conceitos básicos (aulas rápidas e intuitivas).
  • Para uma superfície curva submersa, a resultante hidrostática \mathbf{R} pode ser decomposta em uma componente horizontal R_H e uma componente vertical R_V.
  • Teoremas úteis:
    1. a componente horizontal R_H é igual à força resultante sobre a projeção vertical da superfície (ou seja, é igual à força que a água faria sobre a superfície plana vertical obtida projetando a comporta na parede). Essa força é obtida como para uma superfície plana vertical: \,R_H = \gamma\,h_c\,A_v, onde A_v é a área da projeção vertical e h_c é a profundidade do centróide dessa projeção.
    2. a componente vertical R_V é igual ao peso do volume de fluido que está diretamente acima da superfície curva (teorema: força vertical = peso do fluido sobre a projeção horizontal da superfície). Em fórmula: R_V=\gamma\,V, onde V é o volume do fluido “sobre” a comporta (para calcular V fazemos uma integração ou usamos geometria).
  • Localização:
    • R_H age na linha de ação do resultado sobre a projeção vertical; para localizar verticalmente usa-se o centro de pressão para uma superfície plana vertical: h_{cp}=h_c+\dfrac{I_x}{h_c A_v}, com I_x momento de inércia da área da projeção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide.
    • R_V age ao longo da linha vertical que passa pelo centróide do volume do fluido acima da superfície curva; para saber onde na comporta essa vertical intercepta a comporta, encontramos a interseção entre essa vertical e a curvatura (coordenadas).
Agora aplicamos isso passo a passo com as contas.

Passo 3

Calcular a componente horizontal R_H.
  • Primeiro determinar a projeção vertical da comporta: a comporta é um quadrante de raio R=2{,}0\\ \mathrm{m} que vai do piso (altura 0) até a parede na altura 2{,}0\\ \mathrm{m}. A projeção vertical é, portanto, um retângulo de altura 2{,}0\\ \mathrm{m} e largura igual ao comprimento (largura para fora do plano) 3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Área da projeção vertical: A_v = (2{,}0)\times(3{,}0)=6{,}0\\ \mathrm{m^2}.
  • Profundidade do centróide dessa projeção: o retângulo vai de profundidade 4{,}0\\ \mathrm{m} (topo da projeção: porque ponto de contato superior da comporta está a 2{,}0\\ \mathrm{m} acima do piso, logo a 6-2=4\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre) até 6{,}0\\ \mathrm{m} (fundo). O centróide está no meio: h_c = \frac{4{,}0+6{,}0}{2}=5{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Então a componente horizontal: R_H=\gamma\,h_c\,A_v = 9{,}810\cdot 5{,}0\cdot 6{,}0.Calcule: R_H = 9{,}810\times 30 = 294\,300\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Localização vertical da componente horizontal R_H (centro de pressão sobre a projeção vertical).
  • Para o retângulo de altura h=2{,}0\\ \mathrm{m} e largura b=3{,}0\\ \mathrm{m}, o momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa pelo centróide vale I_x=\frac{b\,h^3}{12}=\frac{3{,}0\cdot(2{,}0)^3}{12}=\frac{3\cdot 8}{12}=2{,}0\\ \mathrm{m^4}.
  • A profundidade do centro de pressão (medida a partir da superfície livre) é h_{cp}=h_c+\frac{I_x}{h_c A_v}.Substituindo: h_{cp}=5{,}0+\frac{2{,}0}{5{,}0\cdot 6{,}0}=5{,}0+\frac{2}{30}=5{,}0+0{,}0666667=5{,}0666667\\ \mathrm{m}.
  • Em relação ao piso (altura acima do piso) isto é: \text{altura acima do piso} = 6{,}0 - h_{cp} = 6{,}0-5{,}0666667=0{,}9333333\\ \mathrm{m}.
  • Resumo para R_H:
    • módulo: 294\,300\\ \mathrm{N};
    • atua na parede vertical à profundidade 5{,}0667\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre (isto é a 0{,}9333\\ \mathrm{m} acima do piso).

Passo 5

Calcular a componente vertical R_V (peso do volume de água acima da comporta).
  • Usamos o teorema: R_V=\gamma\cdot V, onde V é o volume do fluido apoiado sobre a comporta.
  • Vamos calcular o volume por integração na seção transversal (por unidade de largura 1\\ \mathrm{m} na direção do comprimento) e depois multiplicar pela largura 3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Considere a coordenada horizontal x medida a partir da parede para a esquerda; para o quadrante de raio R=2 (centro no canto), a fronteira da comporta é dada por x^2+y^2=2^2. A altura de fluido acima do ponto projetado em x é H(x)=6 - y(x) com y(x)=\sqrt{4-x^2} (para 0\le x\le 2). Portanto a área da seção transversal do volume (por unidade de largura) é A_{sec}=\int_{0}^{2}\bigl(6-\sqrt{4-x^2}\bigr)\,dx.
  • Calcule as integrais separadamente: \int_{0}^{2}6\,dx=12,e a integral da raiz é a área de um quadrante de círculo de raio 2: \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{\pi R^2}{4}=\pi.Logo A_{sec}=12-\pi.
  • Volume total (multiplicando pela largura L=3{,}0\\ \mathrm{m}): V = L\cdot A_{sec} = 3\,(12-\pi)=36-3\pi\\ \mathrm{m^3}.
  • A componente vertical: R_V=\gamma\,V = 9{,}810\,(36-3\pi).Numérico: V \approx 3\cdot(12-3{,}14159265)=3\cdot 8{,}85840735=26{,}57522204\\ \mathrm{m^3},
R_V \approx 9{,}810\times 26{,}57522204 \approx 260\,702{,}93\\ \mathrm{N}.
Arredondando: R_V \approx 260\,703\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Localização (plano horizontal) da componente vertical R_V — encontro do eixo vertical de ação com a comporta.
  • A linha de ação vertical de R_V passa pelo centróide do volume V. Primeiro encontramos a coordenada x (distância a partir da parede) do centróide do volume por unidade de largura: x_c = \frac{1}{A_{sec}}\int_{0}^{2} x\bigl(6-\sqrt{4-x^2}\bigr)\,dx.
  • Calcule as integrais: \int_{0}^{2}6x\,dx = 12,e, com substituição padrão, \int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{8}{3}.Assim o numerador é 12-\tfrac{8}{3}=\tfrac{28}{3}.
  • Logo x_c = \frac{28/3}{12-\pi} \approx \frac{9{,}33333333}{8{,}85840735}=1{,}053583\\ \mathrm{m}.
  • Esse x_c é a distância horizontal a partir da parede até a linha de ação vertical do peso do volume. A interseção dessa vertical com a comporta (arco de raio 2{,}0\\ \mathrm{m}) tem coordenada vertical y dada por y=\sqrt{4-x_c^2}. Então y=\sqrt{4-(1{,}053583)^2}\approx 1{,}700\\ \mathrm{m}.
  • Em relação ao piso, a força vertical atua na comporta no ponto que está a 1{,}700\\ \mathrm{m} acima do piso (ou seja, a 6{,}0-1{,}700=4{,}300\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre).
  • (Se desejar a posição ao longo do arco: o ângulo polarmédico relativo ao ponto de fundo é \theta=\arctan(y/x)\approx 58{,}64^\circ e a distância ao longo do arco desde o ponto de fundo é s=R\theta\approx 2\cdot 1{,}023=2{,}046\\ \mathrm{m}.)

Resposta

R_H = 294\,300\\ \mathrm{N} atuando na parede a 5{,}0667\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre (ou 0{,}9333\\ \mathrm{m} acima do piso).
R_V = 260\,703\\ \mathrm{N} atuando verticalmente na comporta numa linha a 1{,}0536\\ \mathrm{m} distante da parede (horizontalmente) e a 1{,}700\\ \mathrm{m} acima do piso (ou 4{,}300\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre).

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