Perto da superfície da Terra, a pressão atmosférica p diminui com o aumento da altitude z acima do nível do mar aproximadamente
p=p_{o} \exp (-a z)
onde p_{o} é a pressão no nível do mar (=101,33 \mathrm{kPa}) e \mathrm{a}=1,2 \mathrm{E}-4 \mathrm{~m}^{-1}. Calcule o gradiente de pressão (força por unidade de volume), em z=0 e em z=5 \mathrm{~km}.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre pressão e altitude:
p = p_{0}\,\exp(-a z)
com p_{0}=101,33\\ \mathrm{kPa} e a=1,2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{-1}. Pede-se calcular o gradiente de pressão, interpretado como força por unidade de volume, em z=0 e em z=5\\ \mathrm{km}. Aqui vamos interpretar “gradiente de pressão (força por unidade de volume)” como o vetor
-\nabla p,
que é precisamente a força por unidade de volume exercida pelo campo de pressão. A variável z é a altitude (positivo para cima).
Passo 2
Lembrete do que é o gradiente e a relação com força por unidade de volume: para um campo escalar p(z) unidimensional,
\nabla p = \frac{dp}{dz}\,\hat{z},
onde \hat{z} é o versor na direção z. A força por unidade de volume associada ao gradiente de pressão é
-\nabla p = -\frac{dp}{dz}\,\hat{z}.
Explicação curta: \frac{dp}{dz} dá a taxa de variação da pressão por metro (unidade \mathrm{Pa/m}); multiplicando por -1 obtemos a direção da força que o gradiente de pressão aplica por unidade de volume.
Passo 3
Derivamos p(z)=p_{0}e^{-a z}. Usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{-a z} em relação a z é -a e^{-a z}. Assim
\frac{dp}{dz} = -a p_{0} e^{-a z}.
Expliquei: a constante a sai multiplicando por causa da derivada do expoente -a z.
Passo 4
Substituindo em -\nabla p obtemos a expressão geral da força por unidade de volume:
-\nabla p = -\frac{dp}{dz}\,\hat{z} = -\bigl(-a p_{0} e^{-a z}\bigr)\,\hat{z} = a p_{0} e^{-a z}\,\hat{z}.
Interpretação do sinal: como p decresce com z, \frac{dp}{dz}<0 e, portanto, -\nabla p é positivo na direção \hat{z} (aponta para cima). A unidade é \mathrm{Pa/m} = \mathrm{N/m^{3}}.
Passo 5
Passo numérico — conversão de unidades e cálculo em z=0.
Convertendo p_{0} para pascal:
p_{0}=101,33\\ \mathrm{kPa}=101330\\ \mathrm{Pa}.
Em z=0 (usar e^{0}=1):
-\nabla p\big|_{z=0} = a p_{0} e^{-a\cdot 0}\,\hat{z} = a p_{0}\,\hat{z}.
Substituindo valores:
a p_{0} = \bigl(1,2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{-1}\bigr)\cdot\bigl(101330\\ \mathrm{Pa}\bigr)=12,1596\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos): 12,16\\ \mathrm{N/m^{3}} na direção \hat{z}.
Passo 6
Passo numérico — cálculo em z=5\\ \mathrm{km}.
Primeiro converter altitude: 5\\ \mathrm{km}=5000\\ \mathrm{m}. Calcular o expoente:
-a z = -\bigl(1,2\times10^{-4}\bigr)\cdot 5000 = -0,6.