Água escoa através de um tubo horizontal a uma vazão de 2,4 \mathrm{gal} / \mathrm{s}. O tubo consiste em duas seções de diâmetros 4 in e 2 in com uma seção de redução suave. A diferença de pressão entre as seções dos dois tubos é medida por um manômetro de mercúrio. Desprezando os efeitos do atrito, determine a altura diferencial do mercúrio entre as duas seções do tubo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Vazão de água: \,2{,}4\\ \mathrm{gal/s}.
  • O tubo é horizontal e tem duas seções com diâmetros: \,4\\ \mathrm{in} (seção 1, maior) e \,2\\ \mathrm{in} (seção 2, menor).
  • Existe uma redução suave entre as seções (ou seja, escoamento permanente, sem grandes perdas por choque) e os efeitos do atrito são desprezados.
  • A diferença de pressão entre as duas seções é medida por um manômetro de mercúrio; precisamos determinar a altura diferencial do mercúrio entre as duas colunas do manômetro (a diferença vertical entre as superfícies de mercúrio nas duas ramificações).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A tubulação é horizontal, então as cotações das duas seções são iguais.
  • Como o escoamento é de água e o manômetro contém mercúrio, haverá uma relação entre a diferença de pressão e a diferença de níveis do mercúrio que envolve as densidades dos dois fluidos.

Passo 2

Vamos converter tudo para unidades SI (métricas) para calcular de forma consistente.
  • Conversão da vazão:
Q = 2{,}4\\ \mathrm{gal/s} = 2{,}4 \times 3{,}78541\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}009085\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Conversão dos diâmetros:
D_1 = 4\\ \mathrm{in} = 4\times0{,}0254\\ \mathrm{m} = 0{,}1016\\ \mathrm{m},
D_2 = 2\\ \mathrm{in} = 2\times0{,}0254\\ \mathrm{m} = 0{,}0508\\ \mathrm{m}.
  • Áreas das secções (fórmula da área de um círculo: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}):
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1016)^2}{4} = 0{,}008106\\ \mathrm{m^2},
A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}0508)^2}{4} = 0{,}002026\\ \mathrm{m^2}.
(Arredondei as áreas com precisão suficiente para os passos seguintes.)

Passo 3

Usamos a equação da continuidade para um escoamento incompressível (água): Q = A v. Assim obtemos as velocidades médias nas duas secções.
  • Velocidade na seção 1 (diâmetro maior):
v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0{,}009085}{0{,}008106} = 1{,}12\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade na seção 2 (diâmetro menor):
v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0{,}009085}{0{,}002026} = 4{,}48\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: a continuidade diz que a mesma vazão volumétrica passa pelas duas seções; como a área diminui, a velocidade aumenta na seção menor.

Passo 4

Desprezando atrito e por se tratar de um tubo horizontal ( z_1=z_2), aplicamos Bernoulli entre as seções 1 e 2:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Rearranjando para a diferença de pressão:
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right).
Aqui \rho é a densidade da água. Usaremos \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Calculemos v_2^2 - v_1^2:
v_2^2 - v_1^2 = (4{,}48)^2 - (1{,}12)^2 = 20{,}07 - 1{,}25 = 18{,}82\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Logo:
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\times1000\times18{,}82 = 9410\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox.}).
(Arredondei no final; usarei valor mais preciso no passo seguinte.)

Passo 5

Agora relacionamos essa diferença de pressão com a diferença de alturas do mercúrio no manômetro. Vou derivar a relação de forma clara:
Considere um manômetro diferencial com mercúrio ( \rho_{Hg}) interligando duas tomadas de pressão onde está a água ( \rho_w). Tomando uma linha vertical que passa por uma superfície de referência e indo de um ponto no fluido da esquerda até o ponto equivalente na ramificação direita, a pressão estática se transmite através de colunas de fluidos. Para o caso em que as tomadas estão à mesma cota, a diferença de pressão entre as tomadas é dada por
p_1 - p_2 = (\rho_{Hg} - \rho_w)\,g\,h,
onde h é a diferença vertical entre as superfícies de mercúrio nas duas ramificações do manômetro, g é a aceleração da gravidade, \rho_{Hg} é a densidade do mercúrio e \rho_w é a densidade da água.
Justificativa rápida (intuitiva): ao deslocar-se de um lado ao outro através do manômetro, passa-se por uma coluna de água e por uma coluna de mercúrio; equacionando pressões e cancelando termos de referência chega-se à expressão acima. Essa é uma fórmula padrão para manômetros diferenciais quando o fluido do manômetro tem densidade diferente do fluido do processo.
Valores que usaremos:
\rho_{w} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_{Hg} = 13600\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto, isolando h:
h = \frac{p_1 - p_2}{(\rho_{Hg}-\rho_w) g}.

Passo 6

Agora substituímos números com maior precisão.
Usando os valores precisos dos quadrados das velocidades (recalculando com mais casas decimais a partir dos v_1 e v_2 calculados):
  • Velocidades mais precisas:
v_1 = \frac{0{,}009085}{0{,}008106} = 1{,}1205\\ \mathrm{m/s},
v_2 = \frac{0{,}009085}{0{,}002026} = 4{,}4837\\ \mathrm{m/s}.
  • Diferença dos quadrados:
v_2^2 - v_1^2 = (4{,}4837)^2 - (1{,}1205)^2 = 20{,}102 - 1{,}255 = 18{,}847\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Diferença de pressão pela fórmula de Bernoulli:
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\times1000\times18{,}847 = 9423{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Agora o denominador do h:
(\rho_{Hg}-\rho_w)g = (13600 - 1000)\times9{,}81 = 12600\times9{,}81 = 123{,}606\\ \mathrm{N/m^3}.
  • Portanto
h = \frac{9423{,}5}{123{,}606} = 0{,}07624\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros e polegadas (para ficar mais intuitivo):
h = 0{,}07624\\ \mathrm{m} = 7{,}624\\ \mathrm{cm} \approx 3{,}00\\ \mathrm{in},
pois 1\\ \mathrm{in}=2{,}54\\ \mathrm{cm} e 7{,}624/2{,}54\approx3{,}00.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o manômetro mostra uma diferença de níveis pequena, cerca de \,7{,}6\\ \mathrm{cm} de mercúrio, o que é razoável dada a grande densidade do mercúrio (ele precisa de pouco deslocamento para equilibrar uma diferença de pressão moderada). As aproximações usadas (água incompressível, escoamento permanente, sem perdas) justificam o uso direto de Bernoulli e da relação do manômetro.

Resposta

h=0{,}0762\\ \mathrm{m}=3{,}00\\ \mathrm{in}

Exercícios relacionados