Água escoa através de um tubo horizontal a uma vazão de
. O tubo consiste em duas seções de diâmetros 4 in e 2 in com uma seção de redução suave. A diferença de pressão entre as seções dos dois tubos é medida por um manômetro de mercúrio. Desprezando os efeitos do atrito, determine a altura diferencial do mercúrio entre as duas seções do tubo.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Vazão de água:
. - O tubo é horizontal e tem duas seções com diâmetros:
(seção 1, maior) e (seção 2, menor). - Existe uma redução suave entre as seções (ou seja, escoamento permanente, sem grandes perdas por choque) e os efeitos do atrito são desprezados.
- A diferença de pressão entre as duas seções é medida por um manômetro de mercúrio; precisamos determinar a altura diferencial do mercúrio entre as duas colunas do manômetro (a diferença vertical entre as superfícies de mercúrio nas duas ramificações).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A tubulação é horizontal, então as cotações das duas seções são iguais.
- Como o escoamento é de água e o manômetro contém mercúrio, haverá uma relação entre a diferença de pressão e a diferença de níveis do mercúrio que envolve as densidades dos dois fluidos.
Passo 2
Vamos converter tudo para unidades SI (métricas) para calcular de forma consistente.
- Conversão da vazão:
- Conversão dos diâmetros:
- Áreas das secções (fórmula da área de um círculo:
):
(Arredondei as áreas com precisão suficiente para os passos seguintes.)
Passo 3
Usamos a equação da continuidade para um escoamento incompressível (água):
. Assim obtemos as velocidades médias nas duas secções.
- Velocidade na seção 1 (diâmetro maior):
- Velocidade na seção 2 (diâmetro menor):
Expliquei: a continuidade diz que a mesma vazão volumétrica passa pelas duas seções; como a área diminui, a velocidade aumenta na seção menor.
Passo 4
Desprezando atrito e por se tratar de um tubo horizontal (
), aplicamos Bernoulli entre as seções 1 e 2:
Rearranjando para a diferença de pressão:
Aqui
é a densidade da água. Usaremos
.
Calculemos
:
Logo:
(Arredondei no final; usarei valor mais preciso no passo seguinte.)
Passo 5
Agora relacionamos essa diferença de pressão com a diferença de alturas do mercúrio no manômetro. Vou derivar a relação de forma clara:
Considere um manômetro diferencial com mercúrio (
) interligando duas tomadas de pressão onde está a água (
). Tomando uma linha vertical que passa por uma superfície de referência e indo de um ponto no fluido da esquerda até o ponto equivalente na ramificação direita, a pressão estática se transmite através de colunas de fluidos. Para o caso em que as tomadas estão à mesma cota, a diferença de pressão entre as tomadas é dada por
onde
é a diferença vertical entre as superfícies de mercúrio nas duas ramificações do manômetro,
é a aceleração da gravidade,
é a densidade do mercúrio e
é a densidade da água.
Justificativa rápida (intuitiva): ao deslocar-se de um lado ao outro através do manômetro, passa-se por uma coluna de água e por uma coluna de mercúrio; equacionando pressões e cancelando termos de referência chega-se à expressão acima. Essa é uma fórmula padrão para manômetros diferenciais quando o fluido do manômetro tem densidade diferente do fluido do processo.
Valores que usaremos:
Portanto, isolando
:
Passo 6
Agora substituímos números com maior precisão.
Usando os valores precisos dos quadrados das velocidades (recalculando com mais casas decimais a partir dos
e
calculados):
- Velocidades mais precisas:
- Diferença dos quadrados:
- Diferença de pressão pela fórmula de Bernoulli:
- Agora o denominador do h:
- Portanto
Convertendo para centímetros e polegadas (para ficar mais intuitivo):
pois
e
.
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: o manômetro mostra uma diferença de níveis pequena, cerca de
de mercúrio, o que é razoável dada a grande densidade do mercúrio (ele precisa de pouco deslocamento para equilibrar uma diferença de pressão moderada). As aproximações usadas (água incompressível, escoamento permanente, sem perdas) justificam o uso direto de Bernoulli e da relação do manômetro.