Como se comporta uma partícula livre em um referencial inercial?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o movimento de uma partícula livre (ou seja, sem nenhuma força agindo sobre ela) em um referencial inercial. O conteúdo principal aqui é o Princípio da Inércia (Primeira Lei de Newton) e a Segunda Lei de Newton, que relaciona força e aceleração. Vamos usar a Segunda Lei para mostrar que, se a resultante das forças é zero, a aceleração também é zero e daí obtemos a equação do movimento.

Passo 2

Em um referencial inercial, a soma de todas as forças que atuam sobre a partícula livre é nula:
\vec{F}_{\text{res}} = 0.
Pela Segunda Lei de Newton, temos
\vec{F}_{\text{res}} = m\,\vec{a},
onde m é a massa da partícula e \vec{a} sua aceleração. Logo,

Passo 3

m\,\vec{a} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{a} = \vec{0}.
Isto significa que a aceleração da partícula é zero em todo instante.

Passo 4

Se \vec{a} = \ddot{\vec{r}}(t) = \vec{0}, então a derivada da velocidade em relação ao tempo é zero:
\dot{\vec{v}}(t) = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v}(t) = \vec{v}_0,
onde \vec{v}_0 é o vetor velocidade constante determinado pelas condições iniciais.

Passo 5

Integrando novamente, a posição \vec{r}(t) satisfaz
\dot{\vec{r}}(t) = \vec{v}_0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0\,t,
sendo \vec{r}_0 a posição inicial no instante t=0.

Resposta

Em um referencial inercial, uma partícula livre move-se em movimento retilíneo uniforme, ou seja, com velocidade constante e trajetória em linha reta.

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