A comporta de um reservatório que contém água apresenta forma de cubo de 2 m de lado. Considerando que o topo da comporta encontra-se a 4 metros da superfície, calcule a força associada a pressão e ponto onde está localizado o centro de pressão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a) a força resultante exercida pela água sobre a comporta (força associada à pressão hidroestática) e b) a posição do centro de pressão (ponto onde a resultante atua). Dados fornecidos pelo enunciado:
A comporta tem forma de quadrado vertical de lado 2\\ \text{m}. O topo da comporta está a 4\\ \text{m} abaixo da superfície livre da água. Portanto o fundo da comporta está a 4+2=6\\ \text{m} abaixo da superfície. Outros dados físicos que usaremos (valores padrão): densidade da água \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 e aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \text{m/s}^2. Área da comporta A=2\cdot2=4\\ \text{m}^2.
Resumo dos dados (para consultar facilmente):
\rho=1000\\ \text{kg/m}^3
g=9{,}81\\ \text{m/s}^2
lado do quadrado b=2\\ \text{m} (altura vertical do painel h_{rect}=2\\ \text{m})
topo a h_{top}=4\\ \text{m} abaixo da superfície
fundo a h_{bot}=6\\ \text{m} abaixo da superfície
área A=4\\ \text{m}^2
As respostas pedidas: força resultante F (em N) e posição do centro de pressão (distância a partir da superfície e/ou a partir do topo da comporta).

Passo 2

Conceito importante: pressão hidrostática varia com a profundidade segundo a lei
p(h)=\rho g h,
onde p(h) é a pressão no ponto cuja profundidade (medida a partir da superfície livre) é h. Isso porque o peso da coluna de fluido acima gera a pressão. Para uma superfície plana vertical imersa, a força total resultante da pressão é a integral da pressão sobre a área:
F=\iint_A p(h)\,dA = \rho g \iint_A h\,dA.
A integral \iint_A h\,dA é simplesmente A vezes a profundidade do centróide da superfície imersa (porque h varia linearmente e o integral de h sobre a área equivale à área vezes a coordenada do centróide). Assim usamos a fórmula prática:
F=\rho g A\,h_c,
onde h_c é a profundidade do centróide da área (distância vertical do centro geométrico da comporta até a superfície livre).

Passo 3

Calcular h_c (profundidade do centróide). Para um retângulo vertical cuja extremidade superior está a h_{top}=4\\ \text{m} e inferior a h_{bot}=6\\ \text{m}, o centróide vertical está na média:
h_c=\frac{h_{top}+h_{bot}}{2}=\frac{4+6}{2}=5\\ \text{m}.
Assim o centróide da comporta está a 5\\ \text{m} abaixo da superfície.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da força:
F=\rho g A h_c.
Substituindo os valores,
F=1000\cdot 9{,}81\cdot 4\cdot 5.
Calcule passo a passo: 4\cdot 5=20. Então
F=1000\cdot 9{,}81\cdot 20=1000\cdot 196{,}2=196{,}200\\ \text{N}.
Em unidades mais usuais, isso é
F=196{,}2\\ \text{kN}.

Passo 5

Agora precisamos do centro de pressão: o ponto onde a resultante atua não coincide, em geral, com o centróide. Para uma superfície plana vertical, a profundidade do centro de pressão h_p (medida a partir da superfície livre) é dada pela fórmula
h_p = h_c + \frac{I_{xc}}{h_c A},
onde I_{xc} é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centróide da área. Essa fórmula vem do cálculo do momento estático da pressão e pode ser entendida como o deslocamento do ponto de aplicação da força devido à variação com a profundidade da pressão.

Passo 6

Calcular I_{xc} para o retângulo de largura horizontal b=2\\ \text{m} e altura vertical h_{rect}=2\\ \text{m}. O momento de inércia de um retângulo em torno de um eixo horizontal pelo seu centróide é
I_{xc}=\frac{b\,h_{rect}^3}{12}.
Substituindo,
I_{xc}=\frac{2\cdot 2^3}{12}=\frac{2\cdot 8}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\\ \text{m}^4.

Passo 7

Aplicar a fórmula do centro de pressão. Já temos h_c=5\\ \text{m}, A=4\\ \text{m}^2 e I_{xc}=\frac{4}{3}\\ \text{m}^4. Então
h_p = 5 + \frac{\tfrac{4}{3}}{5\cdot 4}=5+\frac{\tfrac{4}{3}}{20}=5+\frac{4}{60}=5+\frac{1}{15}.
Calcule numericamente \tfrac{1}{15}=0{,}066\overline{6}. Assim
h_p\approx 5{,}0667\\ \text{m}
medidos a partir da superfície livre da água.

Passo 8

Traduzir a posição do centro de pressão em relação à comporta (normalmente útil medir a partir do topo da comporta). O topo está a 4\\ \text{m} da superfície, logo a profundidade medida a partir do topo da comporta é
\text{distância do topo até o centro de pressão}=h_p-h_{top}=5{,}0667-4=1{,}0667\\ \text{m}.âéã
Isso significa que o centro de pressão está aproximadamente a 1{,}067\\ \text{m} abaixo do topo da comporta (ou a 0{,}9333\\ \text{m} acima do fundo da comporta, já que a altura total é 2\\ \text{m}).

Resposta

F=196{,}200\\ \text{N} (ou 196{,}2\\ \text{kN})
Centro de pressão a 5{,}0667\\ \text{m} abaixo da superfície livre, isto é, a 1{,}0667\\ \text{m} abaixo do topo da comporta.

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