A comporta de um reservatório que contém água apresenta forma de cubo de 2 m de lado. Considerando que o topo da comporta encontra-se a 4 metros da superfície, calcule a força associada a pressão e ponto onde está localizado o centro de pressão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a) a força resultante exercida pela água sobre a comporta (força associada à pressão hidroestática) e b) a posição do centro de pressão (ponto onde a resultante atua). Dados fornecidos pelo enunciado:
A comporta tem forma de quadrado vertical de lado . O topo da comporta está a
abaixo da superfície livre da água. Portanto o fundo da comporta está a
abaixo da superfície. Outros dados físicos que usaremos (valores padrão): densidade da água
e aceleração da gravidade
. Área da comporta
.
Resumo dos dados (para consultar facilmente):
lado do quadrado (altura vertical do painel
)
topo a abaixo da superfície
fundo a abaixo da superfície
área
As respostas pedidas: força resultante (em N) e posição do centro de pressão (distância a partir da superfície e/ou a partir do topo da comporta).
A comporta tem forma de quadrado vertical de lado
Resumo dos dados (para consultar facilmente):
lado do quadrado
topo a
fundo a
área
As respostas pedidas: força resultante
Passo 2
Conceito importante: pressão hidrostática varia com a profundidade segundo a lei
onde
é a pressão no ponto cuja profundidade (medida a partir da superfície livre) é
. Isso porque o peso da coluna de fluido acima gera a pressão. Para uma superfície plana vertical imersa, a força total resultante da pressão é a integral da pressão sobre a área:
A integral
é simplesmente
vezes a profundidade do centróide da superfície imersa (porque
varia linearmente e o integral de
sobre a área equivale à área vezes a coordenada do centróide). Assim usamos a fórmula prática:
onde
é a profundidade do centróide da área (distância vertical do centro geométrico da comporta até a superfície livre).
Passo 3
Calcular
(profundidade do centróide). Para um retângulo vertical cuja extremidade superior está a
e inferior a
, o centróide vertical está na média:
Assim o centróide da comporta está a
abaixo da superfície.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da força:
Substituindo os valores,
Calcule passo a passo:
. Então
Em unidades mais usuais, isso é
Passo 5
Agora precisamos do centro de pressão: o ponto onde a resultante atua não coincide, em geral, com o centróide. Para uma superfície plana vertical, a profundidade do centro de pressão
(medida a partir da superfície livre) é dada pela fórmula
onde
é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centróide da área. Essa fórmula vem do cálculo do momento estático da pressão e pode ser entendida como o deslocamento do ponto de aplicação da força devido à variação com a profundidade da pressão.
Passo 6
Calcular
para o retângulo de largura horizontal
e altura vertical
. O momento de inércia de um retângulo em torno de um eixo horizontal pelo seu centróide é
Substituindo,
Passo 7
Aplicar a fórmula do centro de pressão. Já temos
,
e
. Então
Calcule numericamente
. Assim
medidos a partir da superfície livre da água.
Passo 8
Traduzir a posição do centro de pressão em relação à comporta (normalmente útil medir a partir do topo da comporta). O topo está a
da superfície, logo a profundidade medida a partir do topo da comporta é
Isso significa que o centro de pressão está aproximadamente a
abaixo do topo da comporta (ou a
acima do fundo da comporta, já que a altura total é
).
Resposta
Centro de pressão a