7^{\mathrm{a}} Questão: Com relação ao volume de controle e superfície de controle para aplicação da Equação do Momentum, assinale a alternativa incorreta:
a) O plano da superfície de controle deve quando possível conter todas seções transversais de entrada e/ou saída.
b) O volume de controle deve ser simétrico em relação aos eixos coordenados.
c) A seleção de um volume de controle inadequado pode comprometer os resultados;
d) A seleção de um volume de controle simétrico elimina os efeitos das forças normais da pressão atmosférica;
e) Deve-se assegurar que os fluxos de entrada e saída do volume de controle se dê somente através da superfície de controle.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a alternativa incorreta entre as opções a a e sobre escolha de volume de controle (VC) e superfície de controle (SC) para aplicar a Equação do Momentum. As informações dadas são as afirmações abaixo:
a) O plano da superfície de controle deve quando possível conter todas seções transversais de entrada e/ou saída.
b) O volume de controle deve ser simétrico em relação aos eixos coordenados.
c) A seleção de um volume de controle inadequado pode comprometer os resultados;
d) A seleção de um volume de controle simétrico elimina os efeitos das forças normais da pressão atmosférica;
e) Deve-se assegurar que os fluxos de entrada e saída do volume de controle se dê somente através da superfície de controle.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar de forma clara o que são VC e SC e a forma integral da equação de quantidade de movimento (Momentum) que usamos em problemas de engenharia (isso é a base para avaliar as afirmações).
  • Volume de controle (VC) é uma região de espaço escolhida arbitrariamente onde aplicamos balanços (massa, momentum, energia).
  • Superfície de controle (SC) é a fronteira do VC, por onde massa e momentum podem atravessar.
A forma integral da equação do momentum (equilíbrio linear) para um VC fixo no espaço, em regime geral, pode ser escrita como:
\frac{d}{dt}\int_{VC}\rho \,\vec{V}\, dV + \oint_{SC}\rho\,\vec{V}\,(\vec{V}\cdot\vec{n})\, dA = \sum \vec{F}_{\text{ext}}
onde:
  • \rho é a densidade do fluido;
  • \vec{V} é o vetor velocidade;
  • \vec{n} é o vetor normal externo à SC;
  • \sum \vec{F}_{\text{ext}} inclui forças de superfície (pressão, tensões viscosas) e forças de corpo (gravidade, por ex.).
A força de pressão devida a uma distribuição p sobre a SC é
\vec{F}_p = -\oint_{SC} p\,\vec{n}\, dA.

Passo 3

Analisando a afirmação a: “O plano da superfície de controle deve quando possível conter todas seções transversais de entrada e/ou saída.”
  • Explicação didática: na prática, ao escolher a SC é muito conveniente que ela corte a tubulação ou o escoamento em seções transversais inteiras (por exemplo, um círculo completo da seção de um tubo). Isso permite escrever claramente os termos de fluxo de massa e de momentum como integrais sobre essas seções, e muitas vezes adotar aproximações úteis (como velocidade média) sem esquecer porções do fluxo.
  • Conclusão: a afirmação a é coerente com boa prática e está correta.

Passo 4

Analisando a afirmação b: “O volume de controle deve ser simétrico em relação aos eixos coordenados.”
  • Explicação detalhada: não existe, em teoria da mecânica de fluidos ou na equação do momentum, uma exigência de que o VC deva ser simétrico em relação aos eixos coordenados. A simetria é apenas uma conveniência quando o problema possui simetria física (isso pode simplificar cálculo, permitir cancelamentos, usar velocidades simétricas etc.). Mas quando o escoamento ou a geometria não são simétricos, forçar um VC simétrico não faz sentido e pode até dificultar a análise.
  • Exemplo concreto: em escoamentos ao redor de um corpo assimétrico ou entradas inclinadas, escolhe-se um VC que capture as superfícies relevantes, mesmo que não seja simétrico.
  • Conclusão: a afirmação b é uma imposição errada — o VC NÃO precisa ser simétrico em relação aos eixos coordenados. Portanto, b é incorreta.

Passo 5

Analisando a afirmação c: “A seleção de um volume de controle inadequado pode comprometer os resultados;”
  • Explicação didática: se o VC não engloba adequadamente todas as entradas/saídas de massa, ou se deixa de incluir superfícies onde forças significativas atuam (por ex. pressões em paredes), então os termos integrados na equação ficarão incompletos e o balanço de momentum dará resultado errado. Portanto a escolha do VC é crucial.
  • Conclusão: c é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação d: “A seleção de um volume de controle simétrico elimina os efeitos das forças normais da pressão atmosférica;”
  • Vamos examinar isso com a expressão da força de pressão. Se a pressão na SC for constante e igual a p_{\text{atm}} sobre toda a superfície externa relevante, então
\vec{F}_p = -\oint_{SC} p_{\text{atm}}\,\vec{n}\, dA = -p_{\text{atm}}\oint_{SC}\vec{n}\,dA.
Para uma SC fechada, vale \displaystyle \oint_{SC}\vec{n}\,dA=\vec{0} (intuitivamente, as normais compensam por toda a superfície), então \vec{F}_p=\vec{0}. Ou seja, uma pressão uniforme aplicada sobre uma superfície fechada não produz força resultante. Isso é uma razão correta para podermos “ignorar” a pressão atmosférica em muitos problemas.
  • Observação importante (didática): o cancelamento acima decorre da constância de p sobre a superfície fechada, não da simetria geométrica do VC. A simetria pode facilitar o argumento, mas não é a condição necessária: mesmo um VC geométrico não-simétrico tem \oint \vec{n}dA=\vec{0} e, se p for constante, a contribuição líquida será nula.
  • Conclusão: a afirmação d está incorreta na justificativa que dá (atribuir a eliminação à simetria). Entretanto, o efeito prático (pressão atmosférica uniforme não contribuindo para a força resultante) é verdadeiro, mas não depende de simetria do VC; depende de pressão constante sobre a SC fechada. Portanto d é imprecisa/enganosa.

Passo 7

Analisando a afirmação e: “Deve-se assegurar que os fluxos de entrada e saída do volume de controle se dê somente através da superfície de controle.”
  • Explicação didática: por construção, todo fluxo de massa e de momentum que entra ou sai do VC deve atravessar a SC escolhida. Se houverfluxos por outras “fendas” ou se o VC for mal definido (por exemplo, deixar uma abertura não considerada), os termos integrados na equação de momentum estarão incompletos. Então sim: é obrigatório garantir que todo fluxo relevante atravesse a SC.
  • Conclusão: e é verdadeira.

Passo 8

Agora, recapitulando: a, c e e são afirmações corretas e de boa prática; d é imprecisa porque confunde a razão do cancelamento das forças de pressão (que é a uniformidade da pressão sobre a SC fechada) com a necessidade de simetria geométrica; b é claramente falsa porque não há exigência de simetria do VC em relação aos eixos coordenados. Como a pergunta pede a alternativa incorreta (no sentido de afirmar algo que não é obrigatório/verdadeiro), a alternativa mais diretamente incorreta é b.

Resposta

(b)

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