1. A composição das atmosferas planetária é, em parte, fixada pelas velocidades das moléculas dos gases que as constituem, pois moléculas que se movem mais rapidamente podem alcançar a velocidade de fuga e assim deixar o planeta. Calcule a velocidade média dos átomos de He e das moléculas de \mathrm{CH}_{4} na temperatura (iii) 1000 K.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos: calcular a velocidade média dos átomos de hélio e das moléculas de metano na temperatura (iii) 1000\\ \mathrm{K}.
Informações dadas / que vamos usar:
  • Temperatura: T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Massa de um átomo de hélio: m_{\mathrm{He}}=4\,\mathrm{u} (peguei isso da fórmula química e da tabela periódica: He tem massa atômica aproximada 4\\ \mathrm{u}).
  • Massa de uma molécula de metano: m_{\mathrm{CH_4}}=16\,\mathrm{u} (C é 12\\ \mathrm{u} + 4×H que é 1\\ \mathrm{u} cada, total 16\\ \mathrm{u}).
  • Conversão da unidade atômica de massa para quilograma: 1\,\mathrm{u}=1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Constante de Boltzmann: k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
O objetivo é calcular a velocidade média (média das velocidades, não a velocidade quadrática média) de cada espécie na temperatura dada.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (teoria básica e significado das variáveis).
Para um gás ideal no equilíbrio térmico a distribuição de velocidades é a de Maxwell–Boltzmann. A velocidade média (o valor médio de v, isto é \bar v) é dada por:
\bar v = \sqrt{\dfrac{8 k T}{\pi m}}.
Aqui:
  • \bar v é a velocidade média que queremos (em \mathrm{m/s});
  • k é a constante de Boltzmann ( 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K});
  • \pi é a constante trigonométrica ( \approx 3{,}14159265);
  • m é a massa de uma única partícula (em kg).
Breve explicação didática: a fórmula vem de calcular a média \bar v=\int_0^\infty v f(v)\,dv onde f(v) é a distribuição de Maxwell para velocidade; o resultado fechado dessa integral é a expressão acima. Na prova você pode usar a fórmula direta sem derivar (mas saiba que ela vem da média da distribuição de Maxwell).

Passo 3

Preparar massas em quilograma (converter \mathrm{u} para \mathrm{kg}).
Cálculo das massas:
m_{\mathrm{He}} = 4\,\mathrm{u} = 4\times1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} = 6{,}6421562664\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
m_{\mathrm{CH_4}} = 16\,\mathrm{u} = 16\times1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} = 2{,}65686250656\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a velocidade média do hélio passo a passo.
  1. Calcular o numerador 8 k T:
8 k T = 8 \times 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} \times 1000\\ \mathrm{K} = 8 \times 1{,}380649\times10^{-20}\\ \mathrm{J} = 1{,}1045192\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  1. Dividir por \pi:
\frac{8kT}{\pi} = \frac{1{,}1045192\times10^{-19}}{3{,}14159265} \approx 3{,}516047\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  1. Dividir pelo valor da massa de uma partícula m_{\mathrm{He}}:
\frac{8kT}{\pi m_{\mathrm{He}}} = \frac{3{,}516047\times10^{-20}}{6{,}6421562664\times10^{-27}} \approx 5{,}292127\times10^{6}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  1. Raiz quadrada para obter \bar v:
\bar v_{\mathrm{He}} = \sqrt{5{,}292127\times10^{6}}\\ \mathrm{m/s} \approx 2{,}300456\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\bar v_{\mathrm{He}} \approx 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade média do metano ( \mathrm{CH_4}) passo a passo (mesmos passos, só muda m).
Usamos o mesmo valor de \dfrac{8kT}{\pi} calculado antes: 3{,}516047\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  1. Dividir pela massa de \mathrm{CH_4}:
\frac{8kT}{\pi m_{\mathrm{CH_4}}} = \frac{3{,}516047\times10^{-20}}{2{,}65686250656\times10^{-26}} \approx 1{,}323032\times10^{6}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  1. Raiz quadrada:
\bar v_{\mathrm{CH_4}} = \sqrt{1{,}323032\times10^{6}}\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}151096\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\bar v_{\mathrm{CH_4}} \approx 1{,}15\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação rápida e motivacional: o átomo mais leve (He) se move mais rápido que a molécula mais pesada (CH_4) à mesma temperatura — por isso, em atmosferas rasas e quentes, gases leves escapam mais facilmente do planeta. Você está indo bem; isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: usar a fórmula, converter massas, calcular com cuidado e interpretar.

Resposta

\bar v_{\mathrm{He}} \approx 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
\bar v_{\mathrm{CH_4}} \approx 1{,}15\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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