A composição das atmosferas planetária é, em parte, fixada pelas velocidades das moléculas dos gases que as constituem, pois moléculas que se movem mais rapidamente podem alcançar a velocidade de fuga e assim deixar o planeta.
Calcule a velocidade média das moléculas de \mathrm{CH}_{4} nas temperaturas (i) 77 K, (ii) 298 K e (iii) 1000 K.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pedido: calcular a velocidade média das moléculas de \mathrm{CH}_4 nas temperaturas (i) \,77\\ \text{K}, (ii) \,298\\ \text{K} e (iii) \,1000\\ \text{K}.
  • Informação química usada (conhecimento necessário, não fornecido explicitamente no enunciado): massa molar aproximada do \mathrm{CH}_4: M(\mathrm{CH}_4)\approx 12{,}01 + 4\times1{,}008 \approx 16{,}04\\ \text{g/mol} = 0{,}01604\\ \text{kg/mol}.
  • Constantes que serão usadas: R = 8{,}314462618\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1},\qquad \pi \approx 3{,}141592653589793.
Nada mais é necessário do enunciado; a resolução começará agora.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e por quê (aula curta sobre o conceito).
A distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann para um gás ideal permite calcular várias medidas de velocidade. A “velocidade média” (ou valor médio do módulo da velocidade) é
\langle v\rangle = \sqrt{\dfrac{8k_\mathrm{B}T}{\pi m}},
onde:
  • k_\mathrm{B} é a constante de Boltzmann ( 1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J K}^{-1}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • m é a massa de uma molécula (em kg).
É comumente conveniente usar a forma com constante dos gases R e a massa molar M (em kg/mol), porque m = M/N_\mathrm{A} e R = N_\mathrm{A}k_\mathrm{B}. Assim obtém‑se a forma molar:
\langle v\rangle = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}.
Aqui:
  • \langle v\rangle é a velocidade média (módulo) em \text{m s}^{-1};
  • R tem unidades \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1};
  • T em \text{K};
  • M em \text{kg mol}^{-1}.
Observação pedagógica rápida (útil na prova): existem também a velocidade quadrática média (RMS),
v_\mathrm{rms}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
e a velocidade mais provável
v_\mathrm{mp}=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}.
Cada uma mede coisas ligeiramente diferentes; aqui usamos \langle v\rangle conforme o enunciado.

Passo 3

Preparar valores numéricos fixos para os cálculos:
  • Massa molar do metano: M = 0{,}01604\\ \text{kg mol}^{-1} (peguei este valor calculando a partir das massas atômicas).
  • Fator constante:
8R = 8\times 8{,}314462618 = 66{,}515700944\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
  • Produto \pi M:
\pi M = \pi \times 0{,}01604 \approx 0{,}0503911461635806\\ \text{kg mol}^{-1}.
Usarei a fórmula em que substituo esses valores:
\langle v\rangle = \sqrt{\dfrac{8R\,T}{\pi M}} = \sqrt{\dfrac{66{,}515700944\;T}{0{,}0503911461635806}}.

Passo 4

Cálculo para \,T=77\\ \text{K}.
  • Primeiro calcule o numerador 8R\,T:
8R\,T = 66{,}515700944\times77 = 5\,121{,}708972688.
  • Já temos \pi M \approx 0{,}0503911461635806. Agora a razão:
\dfrac{8R\,T}{\pi M} = \dfrac{5\,121{,}708972688}{0{,}0503911461635806} \approx 101\,646{,}08.
  • Tomando a raiz quadrada:
\langle v\rangle_{T=77} = \sqrt{101\,646{,}08}\approx 318{,}9\\ \text{m s}^{-1}.
Arredondando de maneira prática para a prova: \,319\\ \text{m s}^{-1}.

Passo 5

Cálculo para \,T=298\\ \text{K}.
  • Numerador:
8R\,T = 66{,}515700944\times298 = 19\,821{,}678881312.
  • Razão:
\dfrac{8R\,T}{\pi M} = \dfrac{19\,821{,}678881312}{0{,}0503911461635806} \approx 393\,444{,}7.
  • Raiz quadrada:
\langle v\rangle_{T=298} = \sqrt{393\,444{,}7}\approx 627{,}6\\ \text{m s}^{-1}.
Arredondando para prova: \,628\\ \text{m s}^{-1} (ou 627{,}6\\ \text{m s}^{-1} se quiser mais dígitos).

Passo 6

Cálculo para \,T=1000\\ \text{K}.
  • Numerador:
8R\,T = 66{,}515700944\times1000 = 66\,515{,}700944.
  • Razão:
\dfrac{8R\,T}{\pi M} = \dfrac{66\,515{,}700944}{0{,}0503911461635806} \approx 1\,320\,144{,}2.
  • Raiz quadrada:
\langle v\rangle_{T=1000} = \sqrt{1\,320\,144{,}2}\approx 1\,148{,}5\\ \text{m s}^{-1}.
Arredondando: \,1{,}15\times10^{3}\\ \text{m s}^{-1} (ou 1\,149\\ \text{m s}^{-1}).

Passo 7

Verificação rápida e interpretação (truque prático para prova):
  • A velocidade média escala como \sqrt{T}. Então pode checar razões: por exemplo
\langle v\rangle_{298}\approx \langle v\rangle_{77}\sqrt{\dfrac{298}{77}} \quad\text{e}\quad \langle v\rangle_{1000}\approx \langle v\rangle_{77}\sqrt{\dfrac{1000}{77}},
o que dá os mesmos números aproximados obtidos acima — bom sinal de que os cálculos estão coerentes.
  • Intuitivamente: aumentando a temperatura as moléculas se movem mais rápido; entre 77 K e 1000 K a velocidade média aumenta aproximadamente por um fator \sqrt{1000/77}\approx 3{,}6.
Boa! Conseguiu ver o passo a passo, a fórmula, a interpretação e como checar se não errou. Força na prova — já sabe aplicar isso em outras moléculas mudando só M.

Resposta

319\\ \text{m s}^{-1}
628\\ \text{m s}^{-1}
1{,}15\times10^{3}\\ \text{m s}^{-1}

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