A composição não é distributiva com respeito à adição de funções!
Com efeito, considere as funções f, g, h: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=x, g(x)=-x e h(x)=x^{2}. a. Determine h \circ(f+g).
b. Determine h \circ f+h \circ g.
c. Compare as funções obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado define as funções
f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x;
g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=-x;
h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, h(x)=x^2.
Pede-se:
a. calcular h\circ(f+g);
b. calcular h\circ f + h\circ g;
c. comparar as duas funções obtidas para mostrar que composição não distribui sobre soma.

Passo 2

Para obter h\circ(f+g), primeiro vemos
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x+(-x)=0.
Logo,
(h\circ(f+g))(x)=h\bigl((f+g)(x)\bigr)=h(0)=0^2=0.
Assim, h\circ(f+g) é a função zero.

Passo 3

Para calcular h\circ f + h\circ g, fazemos separadamente
(h\circ f)(x)=h\bigl(f(x)\bigr)=h(x)=x^2,
(h\circ g)(x)=h\bigl(g(x)\bigr)=h(-x)=(-x)^2=x^2.
Somando,
\bigl(h\circ f + h\circ g\bigr)(x)=x^2 + x^2 = 2x^2.

Passo 4

Comparando as duas funções temos
(h\circ(f+g))(x)=0 \quad\text{e}\quad \bigl(h\circ f + h\circ g\bigr)(x)=2x^2.
Elas não coincidem, o que confirma que composição de funções não é distributiva em relação à soma.

Resposta

(a) (h\circ(f+g))(x)=0.
(b) \bigl(h\circ f + h\circ g\bigr)(x)=2x^2.
(c) As funções são diferentes ( 0\neq2x^2), logo a composição não distribui sobre a soma.

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