Determine os domínios e as expressões de f \circ g e g \circ f, onde:
f(x)=\sqrt[3]{1-x} e g(x)=1-x^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt[3]{1-x},\quad g(x)=1 - x^{3}
e pede o domínio e a expressão de f\circ g e de g\circ f. O conteúdo é composição de funções: para h=k\circ\ell, vale
\mathrm{Dom}(h)=\{x\in \mathrm{Dom}(\ell)\mid \ell(x)\in \mathrm{Dom}(k)\}.
Também vamos usar a propriedade \sqrt[3]{x^{3}}=x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Determinar os domínios de f e de g:
f(x)=\sqrt[3]{1-x} é bem definida para todo x\in\mathbb{R}, pois raiz cúbica está definida em \mathbb{R}. Logo \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
g(x)=1-x^{3} é um polinômio, também definido em todo \mathbb{R}. Logo \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Domínio de f\circ g:
\mathrm{Dom}(f\circ g) =\{x\in\mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in\mathrm{Dom}(f)\} =\{x\in\mathbb{R}\mid g(x)\in\mathbb{R}\} =\mathbb{R}.

Passo 4

Expressão de f\circ g:
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \sqrt[3]{\,1 - \bigl(1 - x^{3}\bigr)\,} = \sqrt[3]{x^{3}} = x,
pois a raiz cúbica de x^{3} é x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Domínio de g\circ f:
\mathrm{Dom}(g\circ f) =\{x\in\mathrm{Dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{Dom}(g)\} =\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)\in\mathbb{R}\} =\mathbb{R}.

Passo 6

Expressão de g\circ f:
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = 1 - \Bigl(\sqrt[3]{1-x}\Bigr)^{3} = 1 - (1 - x) = x.

Resposta

Dom \bigl(f\circ g\bigr)=\mathbb{R}, (f\circ g)(x)=x
Dom \bigl(g\circ f\bigr)=\mathbb{R}, (g\circ f)(x)=x

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