Em um compósito de náilon 6,6 reforçado com fibras de carbono contínuas e alinhadas, as fibras devem suportar 97% da carga aplicada na direção longitudinal. A tabela a seguir apresenta o módulo de elasticidade e o limite de resistência à tração da matriz e das fibras.
Módulo de elasticidade
(GPa)
Limite de resistência à
tração (MPa)
Fibra de carbono 260 4000
Náilon 6,6 2,8 76
(a) Considerando os dados fornecidos, determine a fração volumétrica de fibras necessária. Dica: A razão entre a carga suportada pelas fibras e a carga suportada pela fase matriz em um carregamento longitudinal é definida por:
\frac{F_{f}}{F_{m}}=\frac{E_{f} f_{f}}{E_{m} f_{m}}
(b) Qual será o limite de resistência a tração desse compósito? Considere que a tensão na matriz no momento da falha da fibra seja de 50 MPa .
\sigma_{c l}^{*}=\sigma_{m}^{\prime} f_{m}+\sigma_{f}^{*} f_{f}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a fração volumétrica de fibras necessária para que as fibras suportem 97\% da carga aplicada na direção longitudinal do compósito.
  2. (b) Calcular o limite de resistência à tração do compósito usando a regra das misturas, considerando que a tensão na matriz no momento da falha das fibras é 50\\ \mathrm{MPa}.
Dados fornecidos (todos extraídos do enunciado):
  • Módulo de elasticidade da fibra: E_{f}=260\\ \mathrm{GPa}.
  • Módulo de elasticidade da matriz (náilon 6,6): E_{m}=2{,}8\\ \mathrm{GPa}.
  • Limite de resistência à tração da fibra: \sigma_{f}^{*}=4000\\ \mathrm{MPa}.
  • Limite de resistência à tração da matriz (informação usada na fórmula final): no momento da falha das fibras a tensão na matriz é \sigma_{m}^{\prime}=50\\ \mathrm{MPa}.
  • Relação fornecida entre forças na direção longitudinal:
\frac{F_{f}}{F_{m}}=\frac{E_{f} f_{f}}{E_{m} f_{m}},
onde f_{f} é a fração volumétrica de fibras e f_{m} é a fração volumétrica da matriz, com f_{m}=1-f_{f}.
  • A condição desejada é que as fibras suportem 97\% da carga longitudinal, ou seja:
\frac{F_{f}}{F_{f}+F_{m}}=0{,}97.

Passo 2

Transformar a condição “fibras suportam 97\% da carga” numa relação entre F_{f} e F_{m}.
Se \dfrac{F_{f}}{F_{f}+F_{m}}=0{,}97, então
\frac{F_{f}}{F_{m}}=\frac{0{,}97}{1-0{,}97}=\frac{0{,}97}{0{,}03}=\frac{97}{3}.
Definimos a razão desejada
R:=\frac{F_{f}}{F_{m}}=\frac{97}{3}.

Passo 3

Usar a relação dada entre F_{f}/F_{m} e os módulos e frações volumétricas para obter uma equação para f_{f}.
A relação dada é
\frac{F_{f}}{F_{m}}=\frac{E_{f} f_{f}}{E_{m} f_{m}}.
Substituindo f_{m}=1-f_{f} e igualando à razão R,
\frac{E_{f} f_{f}}{E_{m}(1-f_{f})}=R.
Isolando \dfrac{f_{f}}{1-f_{f}}:
\frac{f_{f}}{1-f_{f}}=\frac{E_{m}}{E_{f}}\,R.

Passo 4

Calcular numericamente \dfrac{f_{f}}{1-f_{f}} usando os valores numéricos.
Primeiro calculemos \dfrac{E_{m}}{E_{f}}:
\frac{E_{m}}{E_{f}}=\frac{2{,}8}{260}=\frac{28}{2600}=\frac{7}{650}.
Então
\frac{f_{f}}{1-f_{f}}=\frac{7}{650}\cdot\frac{97}{3}=\frac{679}{1950}\approx 0{,}3482051282.

Passo 5

Resolver para f_{f} a partir de \dfrac{f_{f}}{1-f_{f}}= \dfrac{679}{1950}.
Seja x=\dfrac{679}{1950}. Então
f_{f}=\frac{x}{1+x}=\frac{\dfrac{679}{1950}}{1+\dfrac{679}{1950}}=\frac{679}{1950+679}=\frac{679}{2629}.
Agora o valor decimal:
f_{f}=\frac{679}{2629}\approx 0{,}258439\quad\text{(fração volumétrica)}.çãé
Em porcentagem isso é aproximadamente 25{,}84\%.

Passo 6

Verificar f_{m} (fração volumétrica da matriz) para usar na fórmula da resistência:
f_{m}=1-f_{f}=1-\frac{679}{2629}=\frac{1950}{2629}\approx 0{,}741561.

Passo 7

Agora calcular o limite de resistência à tração do compósito usando a regra das misturas dada:
\sigma_{c\ell}^{*}=\sigma_{m}^{\prime} f_{m}+\sigma_{f}^{*} f_{f}.
Explicando cada termo:
  • \sigma_{c\ell}^{*} é a resistência à tração do compósito na direção longitudinal.
  • \sigma_{m}^{\prime} é a tensão na matriz no momento em que as fibras falham (dado: 50\\ \mathrm{MPa}).
  • \sigma_{f}^{*} é a resistência à tração da fibra (dado: 4000\\ \mathrm{MPa}).
  • f_{m} e f_{f} são as frações volumétricas da matriz e das fibras, já calculadas.

Passo 8

Substituir numericamente e calcular cada contribuição.
Contribuição da matriz:
\sigma_{m}^{\prime} f_{m}=50\cdot 0{,}741561\approx 37{,}07805\\ \mathrm{MPa}.
Contribuição das fibras:
\sigma_{f}^{*} f_{f}=4000\cdot 0{,}258439\approx 1033{,}756\\ \mathrm{MPa}.
Somando:
\sigma_{c\ell}^{*}\approx 37{,}07805+1033{,}756=1070{,}83405\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando para uma precisão prática:
\sigma_{c\ell}^{*}\approx 1070{,}8\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{aprox. }1{,}071\\ \mathrm{GPa}).

Resposta

f_{f}=\dfrac{679}{2629}\approx 0{,}25844 (ou 25{,}84\%)
\sigma_{c\ell}^{*}\approx 1070{,}8\\ \mathrm{MPa}

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