Para uma temperatura de referência de \mathbf{3 0 0} \mathbf{K}, as constantes \mathbf{C}_{1} e \mathrm{C}_{2} da equação de WLF para um polímero viscoelástico que apresenta superposição tempo-temperatura são, respectivamente, 2,0 e 50 K . Sabendo que o módulo de relaxação de tensões em cisalhamento desse polímero, a \mathbf{3 0 0 ~ K}, é de \mathbf{1 , 0 ~ G P a} após \mathbf{1 0 0} horas, determine o tempo necessário para que o material atinja o mesmo módulo a \mathbf{3 5 0 ~ K}.
\begin{gathered} a_{T}=\frac{t}{t_{0}} \\ \log \left(\frac{t}{t_{0}}\right)=\frac{-C_{1}\left(T-T_{o}\right)}{C_{2}+\left(T-T_{o}\right)} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tempo necessário, à temperatura de 350\\ \text{K}, para que o polímero atinja o mesmo módulo de relaxação de tensões em cisalhamento que foi observado à temperatura de referência 300\\ \text{K} após 100 horas. Dados fornecidos:
T_{0}=300\\ \text{K}
T=350\\ \text{K}
C_{1}=2,0
C_{2}=50\\ \text{K}
t_{0}=100\\ \text{h}\quad\text{(tempo em }T_{0}\text{ que dá }1,0\\ \text{GPa)}á
As fórmulas fornecidas são:
a_{T}=\frac{t}{t_{0}}
\log\left(\frac{t}{t_{0}}\right)=\frac{-C_{1}\left(T-T_{0}\right)}{C_{2}+\left(T-T_{0}\right)}
A pergunta é: qual é o valor de t (em horas) para T=350\\ \text{K} que resulta no mesmo módulo que ocorreu em t_{0}=100\\ \text{h} a T_{0}=300\\ \text{K}?

Passo 2

Entendendo o que vamos calcular (passo didático): o princípio usado é que, para materiais que obedecem à superposição tempo-temperatura, um mesmo estado de relaxação (mesmo módulo) pode ser alcançado em diferentes temperaturas, desde que os tempos sejam relacionados pelo fator de deslocamento a_{T}. Aqui queremos achar t tal que o estado em T e tempo t corresponde ao estado em T_{0} e tempo t_{0}. A relação é exatamente
a_{T}=\frac{t}{t_{0}},
e a equação de WLF fornece \log (base 10) de a_{T}. Observação: quando eu escrever \log aqui, significa logaritmo na base 10, isto é \log_{10}.

Passo 3

Calculemos a diferença de temperatura que aparece na fórmula:
\Delta T = T - T_{0} = 350\\ \text{K} - 300\\ \text{K} = 50\\ \text{K}.

Passo 4

Substituímos os valores na equação de WLF:
\log\left(\frac{t}{t_{0}}\right)=\frac{-C_{1}\,\Delta T}{C_{2}+\Delta T}.
Agora inserir C_{1}=2,0, C_{2}=50\\ \text{K} e \Delta T=50\\ \text{K}:
\log\left(\frac{t}{t_{0}}\right)=\frac{-2,0\cdot 50}{50+50}.

Passo 5

Efetuando as operações no numerador e denominador:
\text{numerador}=-2,0\cdot 50=-100
\text{denominador}=50+50=100
Logo
\log\left(\frac{t}{t_{0}}\right)=\frac{-100}{100}=-1.

Passo 6

Interpretando o logaritmo: se \log_{10}(x)=-1, então x=10^{-1}=0,1. Aplicando isso ao nosso caso:
\frac{t}{t_{0}}=10^{-1}=0,1.

Passo 7

Finalmente, multiplicamos por t_{0}=100\\ \text{h} para obter t:
t = t_{0}\cdot 0,1 = 100\\ \text{h}\cdot 0,1 = 10\\ \text{h}.

Resposta

10\\ \text{horas}

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