Considere um polímero que tem o seu comportamento viscoelástico linear em fluência descrito pela seguinte equação: \mathbf{D}(\mathbf{t})=\frac{\sqrt{\mathbf{t}}}{2} \mathrm{GPa}^{-1}, onde t é o tempo em horas. Um corpo de prova desse polímero foi solicitado em tração com o seguintes programas de tensão:
No tempo \mathbf{t}=\mathbf{0} a tensão aumenta linearmente de zero até \mathbf{1 0 ~ M P a} por um período de \mathbf{3 0} min e após esse tempo a tensão é mantida constante. Qual é a deformação em t =1 \mathrm{~h} ?

Passo 1

O enunciado dá a função de fluência (compliance) do polímero
\mathbf{D}(\mathbf{t})=\frac{\sqrt{\mathbf{t}}}{2}\\ \text{GPa}^{-1},
onde \mathbf{t}\) está em horas. O programa de tensão é: \[\begin{cases} \text{para }0\le \tau \le 30\\ \text{min}:\\ &\sigma(\tau)\\ \text{aumenta linearmente de }0\\ \text{até }10\\ \text{MPa},\\[4pt] \text{para }\tau>30\\ \text{min}:\\ &\sigma(\tau)=10\\ \text{MPa}\\ (\text{constante}). \end{cases}
As perguntas/objetivos que precisamos responder são: qual é a deformação (tensão/fluência → deformação) em (t=1\ h] (ou seja, 60 minutos)?\n
Dados numéricos extraídos do enunciado (já listando em forma prática):
\sigma_0=10\\ \text{MPa},\qquad t_{\text{rampa}}=30\\ \text{min}=0{,}5\\ \text{h},\qquad t_{\text{avaliação}}=1\\ \text{h}.çã]

Passo 2

Qual método usar e por quê (aula rápida): em regime linear viscoelástico a relação entre deformação \varepsilon(t) e histórico de tensão \sigma(\tau) é dada pela fórmula de convolução com a compliance J (aqui J=D):
\varepsilon(t)=\int_{0}^{t} J(t-\tau)\,d\sigma(\tau).
Explicação intuitiva: cada incremento infinitesimal de tensão d\sigma(\tau) aplicado no tempo \tau provoca uma contribuição à deformação no tempo t igual a J(t-\tau)\,d\sigma(\tau). Somando (integrando) todas essas contribuições obtemos a deformação total em t. Essa é a forma padrão para problemas de fluência linear — é o análogo temporal da multiplicação por um operador linear.

Passo 3

Unidades e escolha conveniente: a compliance está em \text{GPa}^{-1}, a tensão foi dada em \text{MPa}. Para evitar confusão, convertemos a tensão para \text{GPa}:
10\\ \text{MPa}=0{,}01\\ \text{GPa}.
Tempo já está em horas na expressão de D(t), então mantemos t em horas. A rampa dura t_{\text{rampa}}=0{,}5\\ \text{h}. Vamos trabalhar em \text{GPa} e \text{h}.

Passo 4

Expressar o histórico de tensão matematicamente (no intervalo em que varia):
para 0\le \tau \le 0{,}5\\ \text{h} a tensão sobe linearmente de 0 até \sigma_0=0{,}01\\ \text{GPa}. Logo
\sigma(\tau)=\frac{\sigma_0}{t_{\text{rampa}}}\,\tau=\frac{0{,}01}{0{,}5}\tau=0{,}02\,\tau\quad(\text{GPa}),\qquad 0\le\tau\le0{,}5.
Para \tau>0{,}5 a tensão é constante e d\sigma(\tau)=0. Portanto, na integral de convolução só há contribuição de d\sigma no intervalo [0,0{,}5].

Passo 5

Escrever a integral para \varepsilon(1\\ \text{h}) usando d\sigma(\tau)=\sigma'(\tau)\,d\tau no intervalo de rampa:
\varepsilon(1)=\int_{0}^{1} J(1-\tau)\,d\sigma(\tau) =\int_{0}^{0{,}5} J(1-\tau)\,\frac{d\sigma}{d\tau}\,d\tau,
porque para \tau>0{,}5 temos d\sigma/d\tau=0. A derivada durante a rampa é
\frac{d\sigma}{d\tau}=0{,}02\\ \text{GPa/h}.
Substituindo J(t)=D(t)=\dfrac{\sqrt{t}}{2}\\ \text{GPa}^{-1} obtemos:
\varepsilon(1)=0{,}02\int_{0}^{0{,}5}\frac{\sqrt{\,1-\tau\,}}{2}\,d\tau.

Passo 6

Simplificar o fator constante:
0{,}02\cdot\frac{1}{2}=0{,}01,
portanto
\varepsilon(1)=0{,}01\int_{0}^{0{,}5}\sqrt{1-\tau}\,d\tau.

Passo 7

Calcular a integral. Primeiro a primitiva:
\int \sqrt{1-\tau}\,d\tau=\int (1-\tau)^{1/2}d\tau=-\frac{2}{3}(1-\tau)^{3/2}+C,
pois ao derivar -\frac{2}{3}(1-\tau)^{3/2} obtém-se (1-\tau)^{1/2}. Avaliando de 0 até 0{,}5:
\int_{0}^{0{,}5}\sqrt{1-\tau}\,d\tau =-\frac{2}{3}\bigl(1-0{,}5\bigr)^{3/2}+\frac{2}{3}\bigl(1-0\bigr)^{3/2} =\frac{2}{3}\Bigl(1-(0{,}5)^{3/2}\Bigr).

Passo 8

Substituir na expressão para \varepsilon(1):
\varepsilon(1)=0{,}01\cdot\frac{2}{3}\Bigl(1-(0{,}5)^{3/2}\Bigr) =\frac{0{,}02}{3}\Bigl(1-(0{,}5)^{3/2}\Bigr).
Calcular numericamente: (0{,}5)^{3/2}=(\sqrt{0{,}5})^3\approx0{,}70710678^3\approx0{,}3535534. Então
1-(0{,}5)^{3/2}\approx1-0{,}3535534=0{,}6464466.
Multiplicando:
\varepsilon(1)\approx\frac{0{,}02}{3}\times0{,}6464466 \approx0{,}0066666667\times0{,}6464466\approx0{,}0043096.

Passo 9

Interpretação final: a deformação é adimensional (strain). Em termos percentuais:
\varepsilon(1)\approx0{,}0043096\approx0{,}43096\%.
Força final: mantenha esse valor arredondado conforme necessidade da prova; com três algarismos significativos \varepsilon(1)\approx0{,}00431.

Resposta

\varepsilon(1\\ \text{h})=0{,}00431

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