Considere um polímero que tem o seu comportamento viscoelástico linear em fluência descrito pela seguinte equação:
, onde t é o tempo em horas. Um corpo de prova desse polímero foi solicitado em tração com o seguintes programas de tensão:
No tempo
a tensão aumenta linearmente de zero até
por um período de
min e após esse tempo a tensão é mantida constante. Qual é a deformação em t
?
No tempo
Passo 1
O enunciado dá a função de fluência (compliance) do polímero
onde
As perguntas/objetivos que precisamos responder são: qual é a deformação (tensão/fluência → deformação) em (t=1\ h] (ou seja, 60 minutos)?\n
Dados numéricos extraídos do enunciado (já listando em forma prática):
]
Dados numéricos extraídos do enunciado (já listando em forma prática):
Passo 2
Qual método usar e por quê (aula rápida): em regime linear viscoelástico a relação entre deformação
e histórico de tensão
é dada pela fórmula de convolução com a compliance
(aqui
):
Explicação intuitiva: cada incremento infinitesimal de tensão
aplicado no tempo
provoca uma contribuição à deformação no tempo
igual a
. Somando (integrando) todas essas contribuições obtemos a deformação total em
. Essa é a forma padrão para problemas de fluência linear — é o análogo temporal da multiplicação por um operador linear.
Passo 3
Unidades e escolha conveniente: a compliance está em
, a tensão foi dada em
. Para evitar confusão, convertemos a tensão para
:
Tempo já está em horas na expressão de
, então mantemos
em horas. A rampa dura
. Vamos trabalhar em
e
.
Passo 4
Expressar o histórico de tensão matematicamente (no intervalo em que varia):
para a tensão sobe linearmente de
até
. Logo
para
Para
a tensão é constante e
. Portanto, na integral de convolução só há contribuição de
no intervalo
.
Passo 5
Escrever a integral para
usando
no intervalo de rampa:
porque para
temos
. A derivada durante a rampa é
Substituindo
obtemos:
Passo 6
Simplificar o fator constante:
portanto
Passo 7
Calcular a integral. Primeiro a primitiva:
pois ao derivar
obtém-se
. Avaliando de
até
:
Passo 8
Substituir na expressão para
:
Calcular numericamente:
Então
Multiplicando:
Passo 9
Interpretação final: a deformação é adimensional (strain). Em termos percentuais:
Força final: mantenha esse valor arredondado conforme necessidade da prova; com três algarismos significativos
.