Um compósito é preparado misturando-se 500 g de \mathrm{Al}\left(\rho=2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \mathrm{E}=69 \mathrm{GPa}\right) e 100 g de \mathrm{SiC}\left(\rho=3,21 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \mathrm{E}=370 \mathrm{GPa}\right).
a. Quais são as frações volumétricas de Al e de SiC no compósito?
b. Qual é a densidade do compósito?
c. Qual é o modulo de elasticidade do compósito?|

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (todos os números abaixo são do enunciado).
Dados:
  • massa de alumínio: m_{\mathrm{Al}}=500\\ \mathrm{g}.
  • massa de SiC: m_{\mathrm{SiC}}=100\\ \mathrm{g}.
  • densidade do Al: \rho_{\mathrm{Al}}=2,7\\ \mathrm{g/cm}^3.
  • densidade do SiC: \rho_{\mathrm{SiC}}=3,21\\ \mathrm{g/cm}^3.
  • módulo de elasticidade do Al: E_{\mathrm{Al}}=69\\ \mathrm{GPa}.
  • módulo de elasticidade do SiC: E_{\mathrm{SiC}}=370\\ \mathrm{GPa}.
O enunciado pede:
a. As frações volumétricas de Al e de SiC no compósito.
b. A densidade do compósito.
c. O módulo de elasticidade do compósito.

Passo 2

Primeiro: lembrar e aplicar a relação massa, densidade e volume. A fórmula básica é
V=\frac{m}{\rho},
onde V é o volume (em \mathrm{cm}^3 se m estiver em \mathrm{g} e \rho em \mathrm{g/cm}^3), m é a massa e \rho a densidade.
Calcular os volumes individuais:
V_{\mathrm{Al}}=\frac{m_{\mathrm{Al}}}{\rho_{\mathrm{Al}}}=\frac{500}{2,7}=\frac{5000}{27}=185,185\ldots\\ \mathrm{cm}^3.
V_{\mathrm{SiC}}=\frac{m_{\mathrm{SiC}}}{\rho_{\mathrm{SiC}}}=\frac{100}{3,21}=\frac{10000}{321}=31,152024\ldots\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 3

Agora o volume total e as frações volumétricas. Volume total:
V_{\mathrm{tot}}=V_{\mathrm{Al}}+V_{\mathrm{SiC}}=\frac{5000}{27}+\frac{10000}{321}=\frac{1\,875\,000}{8\,667}\approx216,3372095\\ \mathrm{cm}^3.
A fração volumétrica de cada fase é
V_f^{(\mathrm{Al})}=\frac{V_{\mathrm{Al}}}{V_{\mathrm{tot}}},\qquad V_f^{(\mathrm{SiC})}=\frac{V_{\mathrm{SiC}}}{V_{\mathrm{tot}}}.
Fazendo as contas (podemos simplificar exatamente): usando as frações racionais obtemos
V_f^{(\mathrm{Al})}=\frac{5000/27}{1\,875\,000/8\,667}=\frac{2889}{3375}=0,856,
V_f^{(\mathrm{SiC})}=1-0,856=0,144.
Interpretação prática: isso significa que, em volume, o compósito tem 85,6\% de Al e 14,4\% de SiC.

Passo 4

Agora a densidade do compósito. A densidade média do compósito (considerando volumes somados) é dada por
\rho_c=\frac{m_{\mathrm{tot}}}{V_{\mathrm{tot}}},
onde m_{\mathrm{tot}}=m_{\mathrm{Al}}+m_{\mathrm{SiC}}=600\\ \mathrm{g}.
Usando V_{\mathrm{tot}}=\dfrac{1\,875\,000}{8\,667}\\ \mathrm{cm}^3 obtido antes:
\rho_c=\frac{600}{216,3372095\ldots}=2,77344\\ \mathrm{g/cm}^3.
Se quiser em unidades de engenharia mais comuns:
\rho_c=2,77344\\ \mathrm{g/cm}^3=2773,44\\ \mathrm{kg/m}^3.

Passo 5

Agora o módulo de elasticidade do compósito. Primeiro explico a fórmula que vou usar e por que.
Uma estimativa simples e muito usada é a “regra das misturas” no caso isoestrinal (modelo de Voigt): assuma que, sob carga na direção considerada, as duas fases deformam com a mesma deformação (mesmo alongamento relativo). Nessa hipótese a rigidez efetiva é a média ponderada pelos volumes:
E_c = E_{\mathrm{Al}}\,V_f^{(\mathrm{Al})}+E_{\mathrm{SiC}}\,V_f^{(\mathrm{SiC})}.
Aqui:
  • E_c é o módulo do compósito que queremos estimar;
  • E_{\mathrm{Al}} e E_{\mathrm{SiC}} são os módulos das fases (em GPa);
  • V_f^{(\mathrm{Al})} e V_f^{(\mathrm{SiC})} são as frações volumétricas calculadas no passo anterior.
Observação didática curta: existe também o limite inferior (modelo de Reuss, hipótese isostress) que dá uma média harmônica e fornece um limite menor para E_c. Como o enunciado não especificou mais detalhes geométricos e a regra das misturas é o método básico e direto pedido em provas, usamos o modelo de Voigt.

Passo 6

Aplicando a fórmula com os valores numéricos:
E_c = 69\cdot 0,856 + 370\cdot 0,144.
Calcule cada termo:
69\cdot 0,856=59,064\\ \mathrm{GPa},
370\cdot 0,144=53,280\\ \mathrm{GPa}.
Somando,
E_c=59,064+53,280=112,344\\ \mathrm{GPa}.
Interpretação: o módulo efetivo fica entre os módulos das fases (maior que o do alumínio e menor que o do SiC), como esperado; aqui a presença de 14{,}4\% em volume de SiC elevou bastante o módulo.

Passo 7

Resumo final rápido (vai dar certo na prova — lembra de explicar qual hipótese está usando se a questão pedir justificativa): usamos volumes calculados por V=m/\rho, obtivemos as frações volumétricas, a densidade média por massa/volume total e o módulo pela regra das misturas (Voigt, isoestrinal).

Resposta

a) V_f^{(\mathrm{Al})}=0,856,\;V_f^{(\mathrm{SiC})}=0,144
b) \rho_c=2,77344\\ \mathrm{g/cm}^3
c) E_c=112,344\\ \mathrm{GPa}

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