Para o robô “estacionado”, mas com as escovas em rotação, determine:
1.a) O vetor velocidade \vec{V}_{P} do ponto P na extremidade de “uma pá” da escova A rotacionada de \theta_{P}=45^{\circ} em relação ao eixo longitudinal.
1.b) O vetor aceleração \vec{a}_{Q} do ponto Q na extremidade de “uma pá” da escova B rotacionada de \theta_{Q}= 165^{\circ} em relação ao eixo longitudinal.
1.c) A magnitude v_{P} do vetor velocidade do item 1a.
1.d) A componente tangencial a_{\mathrm{tan}} do vetor aceleração do item 1 b .
1.e) A normal normal a_{\text {nor }} do vetor aceleração do item 1b.

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas sobre pontos nas extremidades das pás de duas escovas (A e B) de um robô parado, porém com as escovas em rotação:
  • 1.a) o vetor velocidade \vec{V}_{P} do ponto P na extremidade de uma pá da escova A, quando a pá está em \theta_{P}=45^\circ em relação ao eixo longitudinal;
  • 1.b) o vetor aceleração \vec{a}_{Q} do ponto Q na extremidade de uma pá da escova B, quando a pá está em \theta_{Q}=165^\circ;
  • 1.c) a magnitude v_{P} do vetor velocidade do item 1.a;
  • 1.d) a componente tangencial a_{\mathrm{tan}} do vetor aceleração do item 1.b;
  • 1.e) a componente normal (centrípeta) a_{\mathrm{nor}} do vetor aceleração do item 1.b.
Informações fornecidas explicitamente no enunciado:
  • \theta_{P}=45^\circ.
  • \theta_{Q}=165^\circ.
  • O robô está estacionário (logo não há velocidade linear do corpo — só o movimento relativo das escovas importa).
Informações necessárias que NÃO foram fornecidas no enunciado e que são indispensáveis para obter valores numéricos:
  • o raio (comprimento da pá, distância do centro da escova até P ou Q); chamarei de r_P e r_Q;
  • as velocidades angulares (magnitudes) das escovas: \omega_A para a escova A e \omega_B para a escova B;
  • as acelerações angulares (se existirem) das escovas: \alpha_A e \alpha_B.
Como falta essa informação numérica, não é possível dar valores numéricos finais. Vou, portanto, apresentar uma solução simbólica (fórmulas fechadas) totalmente didática, para que você saiba exatamente o que calcular na prova assim que tiver os valores de r, \omega e \alpha.

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas que vou usar (explicadas de forma direta):
  • Velocidade de um ponto em um corpo rígido que roda em torno de um eixo fixo:
    \vec{V}=\vec{\omega}\times\vec{r},
    onde \vec{\omega} é o vetor velocidade angular (direção do eixo de rotação e magnitude \omega) e \vec{r} é o vetor posição do ponto relativo ao centro de rotação.
    Explicação: o produto vetorial \vec{\omega}\times\vec{r} dá um vetor no plano tangencial à trajetória circular do ponto; sua magnitude é \omega r e ele é perpendicular a \vec{r}, apontando no sentido do movimento.
  • Aceleração de um ponto em rotação (quando a rotação pode ter variação angular):
    \vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}),
    onde \vec{\alpha} é o vetor aceleração angular (magnitude \alpha). O primeiro termo é a aceleração tangencial (proporcional a \alpha r); o segundo termo é a aceleração centrípeta (normal) e equivale a -\omega^{2}\vec{r} quando \vec{r} está no plano perpendicular a \vec{\omega}.
    Explicação: \vec{\alpha}\times\vec{r} tem direção tangencial (altera a magnitude da velocidade), magnitude \alpha r. O termo \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) aponta para o centro e tem magnitude \omega^2 r (é a aceleração centrípeta).
  • Componentes escalares usuais:
    v=\omega r,\qquad a_{\mathrm{tan}}=\alpha r,\qquad a_{\mathrm{nor}}=\omega^2 r.
    Estas são as magnitudes das componentes tangencial e normal.

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas (padrão, para ficar concreto e usável na prova):
  • Eixo longitudinal do robô: \hat{\imath} (eixo x).
  • Eixo lateral (para a esquerda do robô): \hat{\jmath} (eixo y).
  • Eixo vertical para cima: \hat{k} (eixo z).
Assumo que as escovas giram em torno do eixo vertical ( \hat{k}), logo
\vec{\omega}=\omega\,\hat{k},\qquad \vec{\alpha}=\alpha\,\hat{k}.
Posição de um ponto na extremidade da pá, expresso em coordenadas polares no plano xy com ângulo \theta medido a partir do eixo x (longitudinal):
\vec{r}=r(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}).

Passo 4

Derivações gerais (passo a passo, sem números):
  1. Velocidade:
\vec{V}=\vec{\omega}\times\vec{r}= \omega\hat{k}\times\bigl[r(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath})\bigr] = \omega r(-\sin\theta\,\hat{\imath}+\cos\theta\,\hat{\jmath}).
  • Aqui a magnitude é imediata: v=\omega r.
  • O vetor resultante é perpendicular a \vec{r} e aponta no sentido do movimento.
  1. Aceleração:
    Primeiro termo (tangencial)
\vec{a}_{\mathrm{tan}}=\vec{\alpha}\times\vec{r}=\alpha r(-\sin\theta\,\hat{\imath}+\cos\theta\,\hat{\jmath}).
Segundo termo (normal/centrípeta). Usando a identidade para \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) com \vec{r} no plano xy:
\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=-\omega^{2}\vec{r}=-\omega^{2}r(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}).
Somando,
\vec{a}=\alpha r(-\sin\theta\,\hat{\imath}+\cos\theta\,\hat{\jmath})-\omega^{2}r(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}).
Separando as componentes:
\vec{a} = r\bigl[-\alpha\sin\theta-\omega^{2}\cos\theta\bigr]\hat{\imath} + r\bigl[\alpha\cos\theta-\omega^{2}\sin\theta\bigr]\hat{\jmath}.
Magnitudes das componentes:
a_{\mathrm{tan}}=\alpha r,\qquad a_{\mathrm{nor}}=\omega^{2} r.
(O vetor normal, apontando para o centro, é \vec{a}_{\mathrm{nor}}=-\omega^{2}\vec{r}.)

Passo 5

Aplicação específica ao item 1.a (ponto P, \theta_{P}=45^\circ):
Usando as fórmulas gerais com r=r_P e \omega=\omega_A:
\vec{V}_{P}=\omega_A r_P\bigl(-\sin45^\circ\,\hat{\imath}+\cos45^\circ\,\hat{\jmath}\bigr).
Sabendo que \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, isto fica
\vec{V}_{P}=\omega_A r_P\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\imath}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\jmath}\right).
A magnitude é
v_{P}=\omega_A r_P.

Passo 6

Aplicação ao item 1.b (aceleração do ponto Q, \theta_{Q}=165^\circ):
Usando r=r_Q, \omega=\omega_B, \alpha=\alpha_B, e a fórmula geral
\vec{a}_{Q}=\alpha_B r_Q(-\sin165^\circ\,\hat{\imath}+\cos165^\circ\,\hat{\jmath}) -\omega_B^{2} r_Q(\cos165^\circ\,\hat{\imath}+\sin165^\circ\,\hat{\jmath}).
Podemos expressar \cos165^\circ e \sin165^\circ em formas exatas usando identidades:
\cos165^\circ = -\cos15^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}+1)}{4}, \qquad \sin165^\circ = \sin15^\circ = \dfrac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}-1)}{4}.
Substituindo essas expressões (opcional; dá forma com radicais) ou deixando em termos de \cos165^\circ e \sin165^\circ é equivalente. Em forma expandida (componentes \hat{\imath} e \hat{\jmath}):
\vec{a}_{Q} = r_Q\bigl[-\alpha_B\sin165^\circ - \omega_B^{2}\cos165^\circ\bigr]\hat{\imath} + r_Q\bigl[\alpha_B\cos165^\circ - \omega_B^{2}\sin165^\circ\bigr]\hat{\jmath}.

Passo 7

Componentes tangencial e normal do item 1.b (vetor e magnitude):
  • Componente tangencial (vetor):
    \vec{a}_{\mathrm{tan},Q}=\alpha_B r_Q(-\sin165^\circ\,\hat{\imath}+\cos165^\circ\,\hat{\jmath}).
    Magnitude:
    a_{\mathrm{tan}}=\alpha_B r_Q.
  • Componente normal (centrípeta) (vetor):
    \vec{a}_{\mathrm{nor},Q}=-\omega_B^{2} r_Q(\cos165^\circ\,\hat{\imath}+\sin165^\circ\,\hat{\jmath}).
    Magnitude:
    a_{\mathrm{nor}}=\omega_B^{2} r_Q.

Resposta

1.a) \displaystyle \vec{V}_{P}=\omega_{A}r_{P}\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\imath}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\jmath}\right)
1.b) \displaystyle \vec{a}_{Q}=r_{Q}\bigl[-\alpha_{B}\sin165^\circ-\omega_{B}^{2}\cos165^\circ\bigr]\hat{\imath} \;+\;r_{Q}\bigl[\alpha_{B}\cos165^\circ-\omega_{B}^{2}\sin165^\circ\bigr]\hat{\jmath}
1.c) \displaystyle v_{P}=\omega_{A}r_{P}
1.d) \displaystyle a_{\mathrm{tan}}=\alpha_{B}r_{Q}
1.e) \displaystyle a_{\mathrm{nor}}=\omega_{B}^{2}r_{Q}

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