Para o robô “estacionado”, mas com as escovas em rotação, determine:
1.a) O vetor velocidade
do ponto P na extremidade de “uma pá” da escova A rotacionada de
em relação ao eixo longitudinal.
1.b) O vetor aceleração
do ponto Q na extremidade de “uma pá” da escova B rotacionada de
em relação ao eixo longitudinal.
1.c) A magnitude
do vetor velocidade do item 1a.
1.d) A componente tangencial
do vetor aceleração do item 1 b .
1.e) A normal normal
do vetor aceleração do item 1b.
1.a) O vetor velocidade
1.b) O vetor aceleração
1.c) A magnitude
1.d) A componente tangencial
1.e) A normal normal
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas sobre pontos nas extremidades das pás de duas escovas (A e B) de um robô parado, porém com as escovas em rotação:
- 1.a) o vetor velocidade
do ponto na extremidade de uma pá da escova A, quando a pá está em em relação ao eixo longitudinal; - 1.b) o vetor aceleração
do ponto na extremidade de uma pá da escova B, quando a pá está em ; - 1.c) a magnitude
do vetor velocidade do item 1.a; - 1.d) a componente tangencial
do vetor aceleração do item 1.b; - 1.e) a componente normal (centrípeta)
do vetor aceleração do item 1.b.
Informações fornecidas explicitamente no enunciado:
-
. -
. - O robô está estacionário (logo não há velocidade linear do corpo — só o movimento relativo das escovas importa).
Informações necessárias que NÃO foram fornecidas no enunciado e que são indispensáveis para obter valores numéricos:
- o raio (comprimento da pá, distância do centro da escova até
ou ); chamarei de e ; - as velocidades angulares (magnitudes) das escovas:
para a escova A e para a escova B; - as acelerações angulares (se existirem) das escovas:
e .
Como falta essa informação numérica, não é possível dar valores numéricos finais. Vou, portanto, apresentar uma solução simbólica (fórmulas fechadas) totalmente didática, para que você saiba exatamente o que calcular na prova assim que tiver os valores de
,
e
.
Passo 2
Conceitos físicos e fórmulas que vou usar (explicadas de forma direta):
-
Velocidade de um ponto em um corpo rígido que roda em torno de um eixo fixo:onde
é o vetor velocidade angular (direção do eixo de rotação e magnitude ) e é o vetor posição do ponto relativo ao centro de rotação. Explicação: o produto vetorialdá um vetor no plano tangencial à trajetória circular do ponto; sua magnitude é e ele é perpendicular a , apontando no sentido do movimento. -
Aceleração de um ponto em rotação (quando a rotação pode ter variação angular):onde
é o vetor aceleração angular (magnitude ). O primeiro termo é a aceleração tangencial (proporcional a ); o segundo termo é a aceleração centrípeta (normal) e equivale a quando está no plano perpendicular a . Explicação:tem direção tangencial (altera a magnitude da velocidade), magnitude . O termo aponta para o centro e tem magnitude (é a aceleração centrípeta). -
Componentes escalares usuais:Estas são as magnitudes das componentes tangencial e normal.
Passo 3
Escolha de sistema de coordenadas (padrão, para ficar concreto e usável na prova):
- Eixo longitudinal do robô:
(eixo ). - Eixo lateral (para a esquerda do robô):
(eixo ). - Eixo vertical para cima:
(eixo ).
Assumo que as escovas giram em torno do eixo vertical (
), logo
Posição de um ponto na extremidade da pá, expresso em coordenadas polares no plano
com ângulo
medido a partir do eixo
(longitudinal):
Passo 4
Derivações gerais (passo a passo, sem números):
- Velocidade:
- Aqui a magnitude é imediata:
. - O vetor resultante é perpendicular a
e aponta no sentido do movimento.
- Aceleração:
Primeiro termo (tangencial)
Segundo termo (normal/centrípeta). Usando a identidade para
com
no plano
:
Somando,
Separando as componentes:
Magnitudes das componentes:
(O vetor normal, apontando para o centro, é
.)
Passo 5
Aplicação específica ao item 1.a (ponto
,
):
Usando as fórmulas gerais com
e
:
Sabendo que
, isto fica
A magnitude é
Passo 6
Aplicação ao item 1.b (aceleração do ponto
,
):
Usando
,
,
, e a fórmula geral
Podemos expressar
e
em formas exatas usando identidades:
Substituindo essas expressões (opcional; dá forma com radicais) ou deixando em termos de
e
é equivalente. Em forma expandida (componentes
e
):
Passo 7
Componentes tangencial e normal do item 1.b (vetor e magnitude):
-
Componente tangencial (vetor):Magnitude:
-
Componente normal (centrípeta) (vetor):Magnitude:
Resposta
1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
1.e)