Duas cantoneiras de aço ( \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} ) de 51 x 51 \times 3 \mathrm{~mm}, com 2,75 m de comprimento, cada uma com 310 \mathrm{~mm}^{2} de área, devem ser usadas como uma coluna de extremidades rotuladas. Determine o índice de esbeltez e a carga de flambagem de Euller se:
As duas cantoneiras não são unidas e cada uma atua como um membro independente. \left(r_{\text {min }}=10,2 \mathrm{~mm}\right).

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Determinar o índice de esbeltez da coluna (para o caso em que as duas cantoneiras NÃO estão unidas e cada uma age como membro independente).
    2. Determinar a carga crítica de flambagem de Euler para cada cantoneira (mesmo caso).
  • Dados fornecidos (peguei os valores no enunciado / figura):
    • Módulo de Young: E=200\\ \mathrm{GPa}.
    • Comprimento de cada cantoneira: L=2{,}75\\ \mathrm{m}.
    • Área da seção de cada cantoneira: A=310\\ \mathrm{mm}^2.
    • Raio de giração mínimo da seção: r_{\text{min}}=10{,}2\\ \mathrm{mm}.
    • Condição de contorno (dada no enunciado): extremidades rotuladas → fator de comprimento efetivo K=1.
Observação sobre unidades (importante): vou converter tudo para unidades coerentes no SI usado com N e mm:
  • E=200\\ \mathrm{GPa}=200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • L=2{,}75\\ \mathrm{m}=2750\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Índice de esbeltez (razão esbeltez) \lambda: mede o quão “esbelta” é a coluna e é dado por
\lambda=\frac{K L}{r},
onde:
  • K é o fator de comprimento efetivo (para extremidades rotuladas K=1),
  • L é o comprimento da coluna (mm),
  • r é o raio de giração da seção (mm).
    Explicação: o raio de giração r é uma medida de como a área está distribuída em torno do eixo e relaciona-se ao momento de inércia por r=\sqrt{I/A}. Quanto maior \lambda, mais a coluna tende a flambagem por flexão.
  • Carga crítica de Euler P_{\text{cr}}: para colunas delgadas e carregamento axial centrado, a fórmula clássica é
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2},
onde:
  • I é o menor momento de inércia da seção (em mm ^4),
  • demais símbolos já definidos.
    Se não tivermos I diretamente, podemos usar I=A r^2 (pois r=\sqrt{I/A}\Rightarrow I=A r^2). Então podemos escrever uma forma prática:
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2 E A r^2}{(K L)^2}.
Unidades: com E em \mathrm{N/mm}^2, A em \mathrm{mm}^2, r e L em mm, P_{\text{cr}} sai em N.

Passo 3

Aplicando a fórmula do índice de esbeltez.
  • Substituindo K=1, L=2750\\ \mathrm{mm} e r=10{,}2\\ \mathrm{mm} na fórmula
\lambda=\frac{K L}{r}=\frac{1\cdot 2750}{10{,}2}.
  • Calculemos:
\lambda=\frac{2750}{10{,}2}\approx 269{,}6078\approx 270.
Interpretação rápida: \lambda\approx 270 é um valor alto (coluna esbelta), portanto o critério de Euler normalmente é aplicável.

Passo 4

Calcular o momento de inércia I a partir de A e r.
  • Usando I=A r^2 com A=310\\ \mathrm{mm}^2 e r=10{,}2\\ \mathrm{mm}:
I = 310\cdot(10{,}2)^2.
  • Calculemos:
(10{,}2)^2=104{,}04,\quad I=310\cdot 104{,}04 = 32\,252{,}4\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 5

Calcular a carga crítica de Euler P_{\text{cr}}.
  • Usando a forma
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}
com E=200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2, I=32\,252{,}4\\ \mathrm{mm}^4, K=1, L=2750\\ \mathrm{mm}.
  • Primeiro, calculo intermediário:
\pi^2\approx 9{,}8696.
\pi^2 E \approx 9{,}8696\cdot 200{,}000 = 1{,}973{,}920{,}88\\ \mathrm{N/mm}^2.
\pi^2 E I \approx 1{,}973{,}920{,}88\cdot 32\,252{,}4 \approx 63\,663\,685\,796{,}6\\ \mathrm{N\cdot mm}^2.
(KL)^2=(1\cdot 2750)^2 = 7\,562\,500\\ \mathrm{mm}^2.
  • Agora a divisão:
P_{\text{cr}}=\frac{63\,663\,685\,796{,}6}{7\,562\,500}\approx 8\,418{,}34\\ \mathrm{N}.
  • Converter para unidade mais usuais:
P_{\text{cr}}\approx 8{,}42\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida (didática).
  • Resumo dos valores intermediários usados:
    • \lambda\approx 269{,}6 (arredondado para 270);
    • I=32\,252{,}4\\ \mathrm{mm}^4;
    • P_{\text{cr}}\approx 8{,}418\\ \mathrm{N}\approx 8{,}42\\ \mathrm{kN}.
  • Observação prática: como o enunciado pediu o caso em que as duas cantoneiras não estão unidas e atuam como membros independentes, o resultado acima é a carga crítica para UMA cantoneira. Se, em outro cenário, as duas estivessem conectadas de forma que atuassem em conjunto (seção composta), a área e o momento de inércia efetivos mudariam e a carga crítica seria bem maior.

Resposta

\lambda=\dfrac{KL}{r}=\dfrac{1\cdot2750}{10{,}2}\approx 269{,}6\\ (\text{ou }270)
P_{\text{cr}}\approx 8{,}42\\ \mathrm{kN}

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