Um compósito reforçado com fibra de vidro contínua e alinhada consiste de 40 \% em volume de fibras de vidro com um módulo de elasticidade de 69 \times 10^{3} \mathrm{MPa} e 60 \% de uma resina de poliéster que, quando curada, apresenta um módulo de 3,4 \times 10^{3} \mathrm{MPa}. Determine o módulo de elasticidade desse compósito na direção transversal.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o módulo de elasticidade do compósito na direção transversal (perpendicular às fibras). Informações fornecidas:
V_f=0,40
V_m=0,60
E_f=69\times10^{3}\,\mathrm{MPa}
E_m=3,4\times10^{3}\,\mathrm{MPa}
Pergunta única: calcular o módulo de elasticidade transversal do compósito (vou chamar de E_T).

Passo 2

Conceito e fórmula necessária (explicação didática):
Quando carregamos o compósito perpendicularmente às fibras, as regiões de fibras e de matriz ficam submetidas basicamente à mesma tensão total aplicada, porém cada fase experimenta deformação diferente. Nessa situação a forma prática de modelar o comportamento elástico é usar o modelo em série (modelo de Reuss), que trabalha com a ideia de “compliances” somáveis. A compliance é o inverso do módulo de elasticidade: se uma barra tem módulo E, sua compliance é 1/E.
A consequência prática é que a compliance efetiva do compósito na direção transversal é a média ponderada das compliances das fases, com pesos iguais às frações volumétricas. Ou seja:
\frac{1}{E_T}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}
Aqui:
  • \,E_T é o módulo transversal que queremos;
  • \,V_f e \,V_m são as frações volumétricas de fibra e matriz, respectivamente;
  • \,E_f e \,E_m são os módulos da fibra e da matriz.
Essa fórmula vem da soma das deformações parciais (como se tivéssemos “elementos em série”): a deformação total é a soma das deformações das partes, e como deformação = tensão ÷ módulo, obtemos a soma das reciprocais dos módulos ponderadas pelas frações volumétricas.

Passo 3

Agora aplico a fórmula substituindo os valores dados:
\frac{1}{E_T}=\frac{0,40}{69\times10^{3}}+\frac{0,60}{3,4\times10^{3}}
Calculo cada termo separadamente (mostrando as contas para você poder replicar sem calculadora, aproximando quando necessário):
\frac{0,40}{69\times10^{3}}=\frac{0,40}{69000}=0,000005797101449\;\text{(aprox.)}
\frac{0,60}{3,4\times10^{3}}=\frac{0,60}{3400}=0,000176470588235\;\text{(aprox.)}
Somando:
\frac{1}{E_T}=0,000005797101449+0,000176470588235=0,000182267689684\;\text{(aprox.)}

Passo 4

Inverto para obter E_T:
E_T=\frac{1}{0,000182267689684}\approx5486{,}44\\ \mathrm{MPa}
É conveniente também apresentar em notação científica:
E_T\approx5,49\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}.
Breve comentário motivador: deu trabalho organizar os números, mas a ideia é simples — na direção transversal soma-se a “compliance” das fases. Você consegue replicar esse passo a passo em outras composições trocando apenas os V e os E.

Resposta

E_T \approx 5,49\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}

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